寫(xiě)在開(kāi)頭: 非線性方程，就是因變量與自變量之間的關(guān)系不是線性的關(guān)系，這類(lèi)方程很多，例如平方關(guān)系、對(duì)數(shù)關(guān)系、指數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)關(guān)系等等。求解此類(lèi)方程往往很難得到精確解，經(jīng)常需要求近似解問(wèn)題。本文將從一道數(shù)列題開(kāi)始，引出一種求解非線性方程的基礎(chǔ)方法：簡(jiǎn)單迭代法。然后講解科學(xué)計(jì)算器的求解方法：牛頓切線法。最后會(huì)用python實(shí)現(xiàn)兩種方法并可視化。

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不動(dòng)點(diǎn)迭代法

引子

先來(lái)看一道簡(jiǎn)單的數(shù)列題。

$$已知數(shù)列a_n的遞推公式a_{n+1}=\frac{1}{a_n+1},且a_1=1,求\underset{x\to \infty }{\lim }{a}_n$$

解此題只需令${\lim }_{x\to \infty }{a}_n=A,解方程A=\frac{1}{A+1}$即可。但借助科學(xué)計(jì)算器還有一種投機(jī)取巧的方法：利用遞推公式不斷求$a_n$。當(dāng)n足夠大時(shí),$a_n(如a_{100})$即可近似為$a_n$的極限。而這一過(guò)程借助科學(xué)計(jì)算器的“Ans”功能可以很方便地實(shí)現(xiàn)。

可以發(fā)現(xiàn)：我們用這種方法繞開(kāi)了二次方程的求根公式解出了方程$x=\frac{1}{x+1}$的一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)值解。那么對(duì)于任意形如$x=g(x)$的方程，是不是也可以用構(gòu)造數(shù)列$a_{n+1}=g(a_n)$來(lái)求解呢？這就是不動(dòng)點(diǎn)迭代法了。

具體操作

不動(dòng)點(diǎn)迭代又稱(chēng)為簡(jiǎn)單迭代，用以求解方程$f(x)=0$。方法如下：

方程轉(zhuǎn)換為$x=g(x)$

給$x_0$設(shè)定一個(gè)初值

$x_{i+1}=g(x_i)$

若滿(mǎn)足結(jié)束條件（i大于某個(gè)預(yù)設(shè)的值，或$|x_{i+1}?x_i|$小于某個(gè)預(yù)設(shè)的值）$x_{i+1}$為解，否則返回第3步

這里將方程$f(x)=0$轉(zhuǎn)換為$x=g(x)$是很容易的，比如對(duì)于$f(x)=x?cos(x)$，求解$f(x)=0$即為求解$x?cos(x)=0$，即$x=cos(x)$，因此$g(x)=cos(x)$；但是需要注意轉(zhuǎn)換方法不唯一，這可能會(huì)影響計(jì)算結(jié)果。

缺點(diǎn)

• 只能求一個(gè)解
• 函數(shù)$\phi (x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)$必須滿(mǎn)足以下的收斂條件：
  1. 有一階導(dǎo)數(shù)
  2. 對(duì)任意$x\in [a,b]$，總存有$\phi (x)\in [a,b]$
  3. 對(duì)任意$x\in [a,b]$，總存有0<L<1,使得$|{\phi (x)}^{\prime }|\le L<1$
• 為滿(mǎn)足收斂條件，需要選取適當(dāng)初始值

牛頓切線法

鑒于不動(dòng)點(diǎn)迭代法有時(shí)無(wú)法滿(mǎn)足的收斂條件，科學(xué)計(jì)算器在求解非線性方程時(shí)會(huì)運(yùn)用另一種方法–牛頓切線法，又稱(chēng)牛頓法。
牛頓切線法也是一種迭代法。它的操作很簡(jiǎn)單，首先通過(guò)移項(xiàng)把方程轉(zhuǎn)化成求函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)的問(wèn)題。在給定一個(gè)迭代點(diǎn)$x_i$時(shí)，作$f(x)$在$x_i$的切線$y?f(x_i)=f^{\prime }(x_i)(x?x_i)$，$x_{i+1}$為切線與x軸的交點(diǎn)$x_i?\frac{f(x_i)}{f^{\prime }(x_i)}$。與不動(dòng)點(diǎn)迭代法一樣，在滿(mǎn)足結(jié)束條件時(shí)終止迭代。

如何理解這種操作呢？可以把$f(x)$的切線看作$f(x)$在$x_i$的一階泰勒近似，既然函數(shù)的切線與函數(shù)是相似的，他們的零點(diǎn)也是相近的。那就把切線的零點(diǎn)當(dāng)做目標(biāo)值的近似。

接下來(lái)是一個(gè)例子，所求方程為$0.1x^2?x?3=0,x_0=1$，共迭代了兩次。

可以看到，迭代兩次后的$x_2$已經(jīng)相當(dāng)接近$x_{target}$了。

一般我們希望x盡可能接近理論值$x_{target}$，但是有時(shí)確切的理論值是未知的，所以也可以令$|y|$盡可能小。現(xiàn)在我們知道了在使用卡西歐計(jì)算器時(shí)，可以使用L-R的功能來(lái)估算$|y|$（即誤差）。而輸入x的功能是為了設(shè)置迭代的初始點(diǎn)。

除了求解方程，牛頓法還有更廣泛的應(yīng)用。在已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以令導(dǎo)數(shù)為零，解方程得函數(shù)的極值。將一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，用向量，梯度，Heese矩陣替換自變量，導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，就可以把牛頓法用于多維無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。

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python實(shí)現(xiàn)

調(diào)用了numpy庫(kù)與matplotlib庫(kù)。使用同一個(gè)函數(shù)接口solve實(shí)現(xiàn)牛頓法與不動(dòng)點(diǎn)迭代法，作為示例的方程為$arctan(x?7)?0.3x=0$。在以迭代次數(shù)作為結(jié)束條件的基礎(chǔ)上，這里增加了一種終止迭代的條件：兩次x的差值$|x_{i+1}?x_i|$小于某個(gè)預(yù)設(shè)的值$delta$。

由于牛頓法涉及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，我們用數(shù)值微分公式$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)?f(x?h)}{2h}$近似導(dǎo)數(shù)，由二階泰勒展開(kāi)公式可推得其誤差為$O(h^2)$。

主要函數(shù)與大致流程：

• 輸入：在func函數(shù)中輸入需要為零的函數(shù)，即方程$f(x)=0$中的$f(x)$，在solve函數(shù)中輸入初始迭代點(diǎn)$x_0$，迭代次數(shù)上限iteration（默認(rèn)100），終止迭代的誤差delta（默認(rèn)1e-5）。
• 輸出：牛頓法與不動(dòng)點(diǎn)迭代法各自的解，和兩張圖ax[0],ax[1]
• 函數(shù)func()：表示$f(x)$
• 函數(shù)derivate():對(duì)func使用數(shù)值微分求導(dǎo)
• 函數(shù)solve():繪制ax[0]的一組迭代點(diǎn)與ax[1]的一條折線
• 子圖ax[0]:函數(shù)圖像與迭代點(diǎn)
• 子圖ax[1]:$f(x)$隨迭代次數(shù)變化的曲線，若能有效求解，曲線將收斂與0

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用來(lái)正常顯示中文標(biāo)簽 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用來(lái)正常顯示負(fù)號(hào)def func(x):#需要為0的函數(shù)y=np.arctan(x-7)-0.3*x#自定義要求解的函數(shù)return y def derivate(x):#數(shù)值微分求導(dǎo)，h取1e-6return (func(x+1e-6)-func(x-1e-6))/2e-6 def solve(x,iteration=100,delta=1e-5,method='fixed_point'):#繪制迭代點(diǎn)和下降曲線doty=[func(x)]#保存迭代點(diǎn)的縱坐標(biāo)，用來(lái)繪制折線圖，先記錄初始點(diǎn)n=1#記錄迭代次數(shù)for i in range(iteration):if(method=='fixed_point'):#不動(dòng)點(diǎn)迭代xnext=func(x)+xcolors="blue"if(method=='newton'):#牛頓迭代xnext=x-func(x)/derivate(x)colors="orange"ax[0].scatter(xnext,func(xnext),marker='o',s=10,color=colors,alpha=1,zorder=3)doty.append(func(xnext))#添加迭代點(diǎn)的縱坐標(biāo)n=n+1if(abs(x-xnext)<delta):#新增的終止條件breakx=xnextax[1].plot(np.arange(0,n),doty,'o-',markersize=3)#繪制函數(shù)值下降曲線return x;#畫(huà)布的基礎(chǔ)設(shè)置 X=np.linspace(-15,20,500) # X軸坐標(biāo)數(shù)據(jù) Y =func(X) # Y軸坐標(biāo)數(shù)據(jù) fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4),dpi=120)#創(chuàng)建畫(huà)布 ax[0].tick_params(labelsize=12)#坐標(biāo)字號(hào) ax[1].tick_params(labelsize=12) ax[0].set_xlabel('$x$')#坐標(biāo)名稱(chēng) ax[0].set_ylabel('$y$') ax[1].set_xlabel('迭代次數(shù)') ax[1].set_ylabel('函數(shù)值') ax[0].grid()#增加網(wǎng)格 ax[1].grid()ax[0].plot(X,0*X,color="black",linewidth=1,zorder=1)#作圖y=0 ax[0].plot(X,Y,label="$f(x)$",color="black",linewidth=1,zorder=2)#作出函數(shù)圖像#繪制兩種方法的迭代點(diǎn)與函數(shù)下降曲線 ax[0].scatter(8,func(8),color="red",s=10,label="初始點(diǎn)")#繪制初始點(diǎn) ans1=solve(8,100,method='fixed_point') ans2=solve(8,100,method='newton') ax[0].legend(fontsize=8)#設(shè)置圖例 ax[1].legend(['不動(dòng)點(diǎn)迭代法','牛頓法'],fontsize=8)print('不動(dòng)點(diǎn)迭代法的結(jié)果：'+str(ans1)) print('牛頓法的結(jié)果：'+str(ans2))plt.show()

結(jié)果如下

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的解非线性方程的两种方法与python实现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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