c語言計算機編程三種方法求解非線性方程

本 科 專 業 學 年 論 文題 目：非線性方程求解比較姓 名： 何 娟 專 業： 計算機科學技術系 班 級： 08 級本科(2)班 指 導 老 師： 劉 曉 娜 完成日期： 2010 年 11 月 21 日題 目：非線性方程求解比較摘 要本文給出了三種求解非線性方程的方法，分別是二分法，牛頓迭代法，割弦法。二分法巧妙地利用插值得到的點以及有根區間中點這兩點處的函數值，縮小隔根區間，以期望得到更快的收斂速度。牛頓迭代法是非線性方程根的一種常見的數值方法,對于非線性方程的單重零點來說，牛頓迭代法一般具有局部二階收斂性,但是當所求的根 X*是 F(X)的 M 重根時,M 是大于等于 2 的整數,此時牛頓迭代法只有一階收斂性。弦截法是將牛頓迭代公式中用差商 F( )-F( )kx1?/ ( - )代替導數 。本文給出了算法改進的具體步驟及算法流程圖kx1? ()kFx相關的數值結果也說明了方法的有效性。關 鍵 詞 : 二分法；牛頓迭代法；割弦法；非線性方程計算機學年專業論文 非線性方程求解- 1 -目 錄第一章 緒 論 ……………………………………………………1 第二章 求解非線性方程的三種常見算法 …………………………… 2 2.1 二分法 ………………………………………………………2 2.2 牛頓迭代法 ……………………………………………………3 2.3 割弦法 ………………………………………………………5 第三章 求解非線性方程的三種算法比較 ……………………………6 3.1 二分法求解方法 ………………………………………………6 3.2 牛頓迭代法求解 ……………………………………………… 8 3.3 割弦法求解 ……………………………………………………9 參 考 文 獻 …………………………………………………… 12計算機學年專業論文 非線性方程求解- 2 -第一章 緒 論在科技飛速發展的今天，計算機已經成為我們生活中不可缺少的一部分了，在我們生活與生產中扮演越來越重要的角色，而科學計算已經成為科學計算的重要方法之一，其應用范圍已滲透到所有科學領域，作為科學與工程計算的數學工具，計算方法已成為高等院校數學與應用數學，信息與計算科學，應用物理學等必修課。 在永恒變化發展的自然界與人類社會中，在研究其內部規律的各個科學領域中，更深刻、更精確地描述其內部規律的數學工具之一，就是非線性方程。非線性代數是研究大規模離散數據的運算處理與內在性狀的數學科學，科學技術離不開數據處理與數據分析，因此非線性代數具有廣泛的應用。無論在物理學、力學、化學、控制論等科學領域中，非線性方程屢見不鮮。就是在生命科學領域中，也是用非線性方程來描述生命過程中的能量、信息、物質等傳遞過程的。因此，對非線性方程的求解自然就是一個非常重要了。然而求解非線性方程有很多種方法，每種方法都有自己的優缺點。目前已有的數學軟件可以幫助我們實現上機計算，基本上已經將數值分析的主要內容設計成簡單的函數，只要調用這些函數進行運算便可得到數值結果。非線性代數中許多數值計算與計算機結合，才能得到更很好，更快，更精準的結果。為了將計算機與線性代數方程組更好的結合在一起，本文做了比較全面的的解說。本文比較全面的介紹了現代計算機科學與工程計算中常見的數值計算方法，對這些數值計算方法的基本理論與實際計算機實踐應用進行了詳細的分析，同時還簡要的分析了這些數值算法的計算效果，穩定性，收斂效果，適用范圍以及優劣性與特點。本文著重于化抽象為具體，引用一個具體的非線性方程用發散性的思維對其進行徹底的分析，主要有：① 引入一個非線性方程，分別運用三種思想進行分析，得到三種解法的根本思想；② 把數學方法與數學思想提出來，并進行簡潔易懂的理論證明，既突出了線性代數的理論和基本思想，又可以幫助讀者對該數學方法的理解；③ 給出各種算法的循環思想以及流程圖，展現出一個清新的框架在讀者面前；④ 基于 c 語言的基礎上，寫出可執行的代碼。⑤ 對各種算法得到的結果進行比較分析。第二章 求解非線性方程的三種常見算法2.1 二分法單變量函數方程：f(x)=0其中，f(x)在閉區間[a，b]上連續、單調，且 f(a)*f(b)0，0?0)(0f?則由牛頓法產生的迭代序列 收斂于 f(x)=0 的根 ，且??nx*x計算機學年專業論文 非線性方程求解- 5 -)(2)(**1limxfxk??????定理 2：對于方程 f(x)=0，設 f(x)在[a，b]上有二階連續導數且滿足下述條件：(1)f(a)f(b)* *x)(f???0,當 【 -, + 】時，由牛頓迭代法 = (k=0,1,2，…)式產0 x??x1?k)( kfx?生的序列 是以不低于二階的收斂速度收斂到 .??n *2.3 割弦法 設 , 為方程 f(x)=0 的兩個近似根。用差商得：f( )-f( )/ - ，kx1? kx1?kx1?代替牛頓迭代公式中的導數 f’( )， 于是得到如下的迭代公式： kx= - 。下面研究割弦法的幾何意義：1?kx())(11??kkkxff經過點( ,f( ))及點( ,f( ))兩點作割線，其點斜式方程為：1?kxY=f( )- ，其零點為 X= - kx()(1kkxff? kx把 X 用 表示即得到迭代格式，它又稱為雙點弦割)())(11?kkkff 1?kx法，需要兩個初值此割線與 X 軸交點的橫坐標就是新的近似值 ，所以弦截法又稱為割線1?kx法，如圖所示。 計算機學年專業論文 非線性方程求解- 6 -下面三個定理為弦割法收斂定理：定理 1：設 f(x)在其零點 的鄰域 U( ， )= [ - ， + ] ( >0)*x*x?*x*?內有二階連續導數， ，則當 U( ， )時，由割弦法式產生的0)(??f0?序列 收斂于 ，且收斂的階為 1.618。??nx*定理 2：設 在區間[a,b] 上連續，且滿足下述三點)(f?(1)f(a)f(b)0)內有二階連續導*x*x?**x?數，f’(x) 0 則當 U( , )時，由弦割 = -?0?1?k )())(11??kkkxff式產生的序列 收斂于 ，且收斂的階為 1.618。??nx*第三章 求解非線性方程的三種算法比較本章主要通過具體實例比較了第二章中三種算法的優缺點，并得到相應結論，求解非線性方程 x*x*x+4*x*x-10=0 在[1,2]上，x0=1.5 附近的解精確到0.000 000 0

總結

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