神奇的莫比乌斯带
這學(xué)期有幸承擔(dān)學(xué)校人文講壇的任務(wù)，原來(lái)任四年級(jí)數(shù)學(xué)老師的時(shí)候，搜集了許多有關(guān)“莫比烏斯帶”的資料，趁著這個(gè)陰雨不斷的十一長(zhǎng)假重新作了整理和修繕。不過(guò)很可惜很多圖片都沒(méi)有辦法上轉(zhuǎn)。
講稿：
神奇的莫比烏斯帶
同學(xué)們一定聽(tīng)過(guò)這樣一個(gè)講不完的故事：從前有座山，山上有座廟，廟里有個(gè)和尚在講故事，講的什么？……
我們?cè)谟涗涍@個(gè)故事的時(shí)候，可以像我這樣用“……”來(lái)表示故事講不完，再可愛(ài)一點(diǎn)兒，同學(xué)們認(rèn)識(shí)了循環(huán)小數(shù)，在循環(huán)節(jié)的首尾各點(diǎn)一點(diǎn)兒表示無(wú)限循環(huán)下去，我們可以效仿這樣來(lái)表示：?從前有座山，山上有座廟，廟里有個(gè)和尚在講故事，講的什么?？但如果我把四句話分別寫在一張紙條的正反兩面，我們還有辦法讓這個(gè)故事講不完嗎？答案是可以！
我們只要將紙條做一個(gè)翻轉(zhuǎn)，然后再粘貼，就能夠?qū)崿F(xiàn)故事無(wú)限循環(huán)下去。那么大家所看到的這個(gè)紙圈在數(shù)學(xué)的歷史上歷經(jīng)多年終于被德國(guó)的天文學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)了，公元1858年，莫比烏斯把這條帶子介紹給大家，于是這個(gè)紙圈便被命名為——莫比烏斯帶。今天中午，我就跟大家一起來(lái)看看這條帶子的與眾不同。
一、莫比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)
首先讓我們一起來(lái)重溫莫比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)。
數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：有人曾提出，先用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做成一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)面，勢(shì)必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？
對(duì)于這樣一個(gè)看來(lái)十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒(méi)有成功。后來(lái)，德國(guó)的數(shù)學(xué)家莫比烏斯對(duì)此發(fā)生了濃厚興趣，他長(zhǎng)時(shí)間專心思索、試驗(yàn)，也毫無(wú)結(jié)果。
有一天，他被這個(gè)問(wèn)題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風(fēng)，使他頓時(shí)感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個(gè)尚未找到的圈兒。
一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來(lái)，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢(mèng)寐以求的那種圈圈。
莫比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。
圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。莫比烏斯圈激動(dòng)地說(shuō)：“公正的小甲蟲，你無(wú)可辯駁地證明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面。” 麥比烏斯帶就這樣被發(fā)現(xiàn)了。
二、有關(guān)莫比烏斯帶的小故事
“莫比烏斯帶”有點(diǎn)神秘，一時(shí)又派不上用場(chǎng)，但是人們還是根據(jù)它的特性編出了一些故事，據(jù)說(shuō)有一個(gè)小偷偷了一位很老實(shí)農(nóng)民的東西，并被當(dāng)場(chǎng)捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發(fā)現(xiàn)小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉。而在紙的反面寫了：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押。縣官將紙條交給執(zhí)事官由他去辦理。聰明的執(zhí)事官將紙條扭了個(gè)彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿罘诺艮r(nóng)民，關(guān)押小偷。縣官聽(tīng)了大怒，責(zé)問(wèn)執(zhí)事官。執(zhí)事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應(yīng)當(dāng)”二字讀起，確實(shí)沒(méi)錯(cuò)。仔細(xì)觀看字跡，也沒(méi)有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認(rèn)倒霉。
縣官知道執(zhí)事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機(jī)報(bào)復(fù)。一日，又拿了一張紙條，要執(zhí)事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執(zhí)事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環(huán)上一劃，又拆開兩端，只見(jiàn)紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計(jì)又落空了。
現(xiàn)實(shí)可能根本不會(huì)發(fā)生這樣的故事，但是這兩個(gè)故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點(diǎn)。
三、奇妙的莫比烏斯帶
左圖所示的帶子是由一張紙條的兩端粘接而成。紙的一面稱為帶的內(nèi)側(cè)，而紙的另一面則稱為帶的外側(cè)。我們把這樣的曲面叫做“雙側(cè)曲面”。如果一只蜘蛛想沿著紙帶從外側(cè)爬到內(nèi)側(cè)，那么它非得設(shè)法跨越帶的邊緣不可．
右面這張圖所示的是莫比烏斯帶，它也是由一張紙條兩端粘接而成，不過(guò)，在粘接前一端扭轉(zhuǎn)了180°。現(xiàn)在，所得的紙帶已不再具有兩面，它只有一個(gè)面，一條邊，這樣的曲面我們就叫它“單側(cè)曲面”。設(shè)想一只蜘蛛開始沿著莫比烏斯帶爬，那么它能夠爬遍整條帶子而無(wú)須跨越帶的邊緣。要證實(shí)這一點(diǎn)，只要拿一支鉛筆，筆不離紙連續(xù)地畫線．那么，你將會(huì)經(jīng)過(guò)整條的帶子，并返回你原先的起點(diǎn)．
莫比烏斯帶的另一個(gè)有趣的性質(zhì)，只要你沿著如下圖所示的帶子中央的虛線剪開把這個(gè)圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，奇怪的是，剪開后竟然是一個(gè)大圈兒。
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？還是三個(gè)圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知道了。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而剪出一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙圈。
有趣的是：新得到的這個(gè)較長(zhǎng)的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。
同學(xué)們?nèi)绻信d趣，可以將紙條四等分、五等分……，做成莫比烏斯帶，剪剪看會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果。
四、克萊因瓶
莫比烏代很神奇，但是，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)力克斯?克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒(méi)有明顯邊界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子”—— “克萊因瓶”。這種怪瓶實(shí)際上可以看作是由一對(duì)麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。
這是一個(gè)象球面那樣封閉的（也就是說(shuō)沒(méi)有邊）曲面，但是它卻只有一個(gè)面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個(gè)瓶子。但是它沒(méi)有瓶底，它的瓶頸被拉長(zhǎng)，然后似乎是穿過(guò)了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過(guò)瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會(huì)得到一個(gè)輪胎面。
我們可以說(shuō)一個(gè)球有兩個(gè)面——外面和內(nèi)面，如果一只螞蟻在一個(gè)球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個(gè)洞，就無(wú)法爬到內(nèi)表面上去。輪胎面也是一樣，有內(nèi)外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過(guò)瓶頸而爬到“瓶?jī)?nèi)”去——事實(shí)上克萊因瓶并無(wú)內(nèi)外之分！
如果把一個(gè)克萊因瓶適當(dāng)?shù)丶糸_來(lái)，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。
除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“８字形”克萊因瓶。它看起來(lái)和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實(shí)就是同一個(gè)曲面——克萊因瓶。
五、麥比烏斯圈的應(yīng)用：
數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要分支叫“拓?fù)鋵W(xué)”，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時(shí)的一些特征和規(guī)律的，“麥比烏斯圈”變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問(wèn)題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn)用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。
在科技館的展廳里有一個(gè)名叫“三葉紐結(jié)”的展品。它高12米，整體寬度10米，由三條寬1.65米的帶形成的一根三棱柱經(jīng)過(guò)三次盤繞，將其一端旋轉(zhuǎn)120°后首尾相接構(gòu)成。它實(shí)際上是由“莫比烏斯帶”演變而成的。它表示著科學(xué)沒(méi)有國(guó)界，各種科學(xué)之間沒(méi)有邊界，科學(xué)是相互連通的，科學(xué)和藝術(shù)也是相互連通的！
在世界特殊奧林匹克運(yùn)動(dòng)史上，莫比烏斯環(huán)有著特殊的意義，其象征著連接起全世界智障人士的友誼，彰顯出特奧會(huì)所崇尚的“轉(zhuǎn)換一種生命方式，您將獲得無(wú)限發(fā)展”理念。不久前落成的以2007年世界夏季特奧會(huì)會(huì)標(biāo)“眼神”為主題的紀(jì)念雕塑，其采用的就是象征著無(wú)限發(fā)展的莫比烏斯環(huán)。
瑞典《不可能的圖形》郵票：瑞典1982年發(fā)行的一枚郵票，圖案是一個(gè)古里古怪的圖形，如果你用指尖沿著這個(gè)古怪的圖形上任何一個(gè)面順著一個(gè)方向劃下去，結(jié)果會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)在現(xiàn)實(shí)中不可能造出來(lái)的東西。但如果你就這樣一直順著劃下去，又會(huì)回到原來(lái)的出發(fā)點(diǎn)，似乎這個(gè)物體又不荒謬。其實(shí)這是一個(gè)立體化的“莫比烏斯圈”。發(fā)行這枚“不可能的圖形”郵票，意在引導(dǎo)人們關(guān)注科學(xué)，探索宇宙不解之謎。
莫比烏斯帶為很多藝術(shù)家提供了靈感，比如美術(shù)家M.C.Escher就是一個(gè)利用這個(gè)結(jié)構(gòu)在他木刻畫作品里面的人，最著名的就是莫比烏斯二代，圖畫中表現(xiàn)一些螞蟻在莫比烏斯帶上面前行。
FOA建筑工作室的虛擬住宅方案，試圖達(dá)到數(shù)學(xué)上著名的“莫比烏斯帶”所展示的有趣的空間界面特點(diǎn)。
它也經(jīng)常出現(xiàn)在科幻小說(shuō)里面，比如亞瑟?克拉克的《黑暗之墻》。科幻小說(shuō)常常想象我們的宇宙就是一個(gè)莫比烏斯帶。由A.J.Deutsch創(chuàng)作的短篇小說(shuō)《一個(gè)叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創(chuàng)造了一個(gè)新的行駛線路，整個(gè)線路按照莫比烏斯帶方式扭曲，走入這個(gè)線路的火車都消失不見(jiàn)。另外一部小說(shuō)《星際航行：下一代》中也用到了莫比烏斯帶空間的概念。
莫比烏斯帶也被用于工業(yè)制造。一種從莫比烏斯帶得到靈感的針式打印機(jī)色帶能使用更長(zhǎng)的時(shí)間，因?yàn)榭梢愿玫睦谜麄€(gè)帶子。
莫比烏斯帶常被認(rèn)為是 ∞（無(wú)窮大符號(hào)）的創(chuàng)意來(lái)源，因?yàn)槿绻硞€(gè)人站在一個(gè)巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠(yuǎn)不會(huì)停下來(lái)。但是這是一個(gè)不真實(shí)的傳聞，因?yàn)?∞ 的發(fā)明比莫比烏斯帶還要早。
六、不可能的事情
在這幅名叫“瀑布”的平版畫中存在的不可思議：瀑布是一個(gè)封閉系統(tǒng), 但它卻能使作坊車輪象一臺(tái)永動(dòng)機(jī)一樣連續(xù)地轉(zhuǎn)動(dòng)。
瑞士藝術(shù)家Oscar Reutersvard是“不可能圖形之父。他創(chuàng)作出了“不可能圖形” 。 1934年, 他通過(guò)一系列立方體造出了第一個(gè)不可能三角形。 1982年這幅畫作為瑞典郵票發(fā)行。
七、結(jié)語(yǔ)
莫比烏斯帶實(shí)際是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)小部分。
拓?fù)鋵W(xué)是19世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的一個(gè)重要的幾何分支。早在歐拉或更早的時(shí)代，就已有拓?fù)鋵W(xué)的萌芽，那時(shí)候發(fā)現(xiàn)的個(gè)別問(wèn)題，例如哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等，都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史上的重要問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。
講稿：
神奇的莫比烏斯帶
同學(xué)們一定聽(tīng)過(guò)這樣一個(gè)講不完的故事：從前有座山，山上有座廟，廟里有個(gè)和尚在講故事，講的什么？……
我們?cè)谟涗涍@個(gè)故事的時(shí)候，可以像我這樣用“……”來(lái)表示故事講不完，再可愛(ài)一點(diǎn)兒，同學(xué)們認(rèn)識(shí)了循環(huán)小數(shù)，在循環(huán)節(jié)的首尾各點(diǎn)一點(diǎn)兒表示無(wú)限循環(huán)下去，我們可以效仿這樣來(lái)表示：?從前有座山，山上有座廟，廟里有個(gè)和尚在講故事，講的什么?？但如果我把四句話分別寫在一張紙條的正反兩面，我們還有辦法讓這個(gè)故事講不完嗎？答案是可以！
我們只要將紙條做一個(gè)翻轉(zhuǎn)，然后再粘貼，就能夠?qū)崿F(xiàn)故事無(wú)限循環(huán)下去。那么大家所看到的這個(gè)紙圈在數(shù)學(xué)的歷史上歷經(jīng)多年終于被德國(guó)的天文學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)了，公元1858年，莫比烏斯把這條帶子介紹給大家，于是這個(gè)紙圈便被命名為——莫比烏斯帶。今天中午，我就跟大家一起來(lái)看看這條帶子的與眾不同。
一、莫比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)
首先讓我們一起來(lái)重溫莫比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)。
數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：有人曾提出，先用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做成一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)面，勢(shì)必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？
對(duì)于這樣一個(gè)看來(lái)十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒(méi)有成功。后來(lái)，德國(guó)的數(shù)學(xué)家莫比烏斯對(duì)此發(fā)生了濃厚興趣，他長(zhǎng)時(shí)間專心思索、試驗(yàn)，也毫無(wú)結(jié)果。
有一天，他被這個(gè)問(wèn)題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風(fēng)，使他頓時(shí)感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個(gè)尚未找到的圈兒。
一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來(lái)，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢(mèng)寐以求的那種圈圈。
莫比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。
圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。莫比烏斯圈激動(dòng)地說(shuō)：“公正的小甲蟲，你無(wú)可辯駁地證明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面。” 麥比烏斯帶就這樣被發(fā)現(xiàn)了。
二、有關(guān)莫比烏斯帶的小故事
“莫比烏斯帶”有點(diǎn)神秘，一時(shí)又派不上用場(chǎng)，但是人們還是根據(jù)它的特性編出了一些故事，據(jù)說(shuō)有一個(gè)小偷偷了一位很老實(shí)農(nóng)民的東西，并被當(dāng)場(chǎng)捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發(fā)現(xiàn)小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉。而在紙的反面寫了：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押。縣官將紙條交給執(zhí)事官由他去辦理。聰明的執(zhí)事官將紙條扭了個(gè)彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿罘诺艮r(nóng)民，關(guān)押小偷。縣官聽(tīng)了大怒，責(zé)問(wèn)執(zhí)事官。執(zhí)事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應(yīng)當(dāng)”二字讀起，確實(shí)沒(méi)錯(cuò)。仔細(xì)觀看字跡，也沒(méi)有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認(rèn)倒霉。
縣官知道執(zhí)事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機(jī)報(bào)復(fù)。一日，又拿了一張紙條，要執(zhí)事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執(zhí)事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環(huán)上一劃，又拆開兩端，只見(jiàn)紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計(jì)又落空了。
現(xiàn)實(shí)可能根本不會(huì)發(fā)生這樣的故事，但是這兩個(gè)故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點(diǎn)。
三、奇妙的莫比烏斯帶
左圖所示的帶子是由一張紙條的兩端粘接而成。紙的一面稱為帶的內(nèi)側(cè)，而紙的另一面則稱為帶的外側(cè)。我們把這樣的曲面叫做“雙側(cè)曲面”。如果一只蜘蛛想沿著紙帶從外側(cè)爬到內(nèi)側(cè)，那么它非得設(shè)法跨越帶的邊緣不可．
右面這張圖所示的是莫比烏斯帶，它也是由一張紙條兩端粘接而成，不過(guò)，在粘接前一端扭轉(zhuǎn)了180°。現(xiàn)在，所得的紙帶已不再具有兩面，它只有一個(gè)面，一條邊，這樣的曲面我們就叫它“單側(cè)曲面”。設(shè)想一只蜘蛛開始沿著莫比烏斯帶爬，那么它能夠爬遍整條帶子而無(wú)須跨越帶的邊緣。要證實(shí)這一點(diǎn)，只要拿一支鉛筆，筆不離紙連續(xù)地畫線．那么，你將會(huì)經(jīng)過(guò)整條的帶子，并返回你原先的起點(diǎn)．
莫比烏斯帶的另一個(gè)有趣的性質(zhì)，只要你沿著如下圖所示的帶子中央的虛線剪開把這個(gè)圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，奇怪的是，剪開后竟然是一個(gè)大圈兒。
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？還是三個(gè)圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知道了。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而剪出一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙圈。
有趣的是：新得到的這個(gè)較長(zhǎng)的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。
同學(xué)們?nèi)绻信d趣，可以將紙條四等分、五等分……，做成莫比烏斯帶，剪剪看會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果。
四、克萊因瓶
莫比烏代很神奇，但是，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)力克斯?克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒(méi)有明顯邊界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子”—— “克萊因瓶”。這種怪瓶實(shí)際上可以看作是由一對(duì)麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。
這是一個(gè)象球面那樣封閉的（也就是說(shuō)沒(méi)有邊）曲面，但是它卻只有一個(gè)面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個(gè)瓶子。但是它沒(méi)有瓶底，它的瓶頸被拉長(zhǎng)，然后似乎是穿過(guò)了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過(guò)瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會(huì)得到一個(gè)輪胎面。
我們可以說(shuō)一個(gè)球有兩個(gè)面——外面和內(nèi)面，如果一只螞蟻在一個(gè)球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個(gè)洞，就無(wú)法爬到內(nèi)表面上去。輪胎面也是一樣，有內(nèi)外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過(guò)瓶頸而爬到“瓶?jī)?nèi)”去——事實(shí)上克萊因瓶并無(wú)內(nèi)外之分！
如果把一個(gè)克萊因瓶適當(dāng)?shù)丶糸_來(lái)，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。
除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“８字形”克萊因瓶。它看起來(lái)和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實(shí)就是同一個(gè)曲面——克萊因瓶。
五、麥比烏斯圈的應(yīng)用：
數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要分支叫“拓?fù)鋵W(xué)”，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時(shí)的一些特征和規(guī)律的，“麥比烏斯圈”變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問(wèn)題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn)用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。
在科技館的展廳里有一個(gè)名叫“三葉紐結(jié)”的展品。它高12米，整體寬度10米，由三條寬1.65米的帶形成的一根三棱柱經(jīng)過(guò)三次盤繞，將其一端旋轉(zhuǎn)120°后首尾相接構(gòu)成。它實(shí)際上是由“莫比烏斯帶”演變而成的。它表示著科學(xué)沒(méi)有國(guó)界，各種科學(xué)之間沒(méi)有邊界，科學(xué)是相互連通的，科學(xué)和藝術(shù)也是相互連通的！
在世界特殊奧林匹克運(yùn)動(dòng)史上，莫比烏斯環(huán)有著特殊的意義，其象征著連接起全世界智障人士的友誼，彰顯出特奧會(huì)所崇尚的“轉(zhuǎn)換一種生命方式，您將獲得無(wú)限發(fā)展”理念。不久前落成的以2007年世界夏季特奧會(huì)會(huì)標(biāo)“眼神”為主題的紀(jì)念雕塑，其采用的就是象征著無(wú)限發(fā)展的莫比烏斯環(huán)。
瑞典《不可能的圖形》郵票：瑞典1982年發(fā)行的一枚郵票，圖案是一個(gè)古里古怪的圖形，如果你用指尖沿著這個(gè)古怪的圖形上任何一個(gè)面順著一個(gè)方向劃下去，結(jié)果會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)在現(xiàn)實(shí)中不可能造出來(lái)的東西。但如果你就這樣一直順著劃下去，又會(huì)回到原來(lái)的出發(fā)點(diǎn)，似乎這個(gè)物體又不荒謬。其實(shí)這是一個(gè)立體化的“莫比烏斯圈”。發(fā)行這枚“不可能的圖形”郵票，意在引導(dǎo)人們關(guān)注科學(xué)，探索宇宙不解之謎。
莫比烏斯帶為很多藝術(shù)家提供了靈感，比如美術(shù)家M.C.Escher就是一個(gè)利用這個(gè)結(jié)構(gòu)在他木刻畫作品里面的人，最著名的就是莫比烏斯二代，圖畫中表現(xiàn)一些螞蟻在莫比烏斯帶上面前行。
FOA建筑工作室的虛擬住宅方案，試圖達(dá)到數(shù)學(xué)上著名的“莫比烏斯帶”所展示的有趣的空間界面特點(diǎn)。
它也經(jīng)常出現(xiàn)在科幻小說(shuō)里面，比如亞瑟?克拉克的《黑暗之墻》。科幻小說(shuō)常常想象我們的宇宙就是一個(gè)莫比烏斯帶。由A.J.Deutsch創(chuàng)作的短篇小說(shuō)《一個(gè)叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創(chuàng)造了一個(gè)新的行駛線路，整個(gè)線路按照莫比烏斯帶方式扭曲，走入這個(gè)線路的火車都消失不見(jiàn)。另外一部小說(shuō)《星際航行：下一代》中也用到了莫比烏斯帶空間的概念。
莫比烏斯帶也被用于工業(yè)制造。一種從莫比烏斯帶得到靈感的針式打印機(jī)色帶能使用更長(zhǎng)的時(shí)間，因?yàn)榭梢愿玫睦谜麄€(gè)帶子。
莫比烏斯帶常被認(rèn)為是 ∞（無(wú)窮大符號(hào)）的創(chuàng)意來(lái)源，因?yàn)槿绻硞€(gè)人站在一個(gè)巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠(yuǎn)不會(huì)停下來(lái)。但是這是一個(gè)不真實(shí)的傳聞，因?yàn)?∞ 的發(fā)明比莫比烏斯帶還要早。
六、不可能的事情
在這幅名叫“瀑布”的平版畫中存在的不可思議：瀑布是一個(gè)封閉系統(tǒng), 但它卻能使作坊車輪象一臺(tái)永動(dòng)機(jī)一樣連續(xù)地轉(zhuǎn)動(dòng)。
瑞士藝術(shù)家Oscar Reutersvard是“不可能圖形之父。他創(chuàng)作出了“不可能圖形” 。 1934年, 他通過(guò)一系列立方體造出了第一個(gè)不可能三角形。 1982年這幅畫作為瑞典郵票發(fā)行。
七、結(jié)語(yǔ)
莫比烏斯帶實(shí)際是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)小部分。
拓?fù)鋵W(xué)是19世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的一個(gè)重要的幾何分支。早在歐拉或更早的時(shí)代，就已有拓?fù)鋵W(xué)的萌芽，那時(shí)候發(fā)現(xiàn)的個(gè)別問(wèn)題，例如哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等，都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史上的重要問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。
總結(jié)
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