目錄

• • 前言：
  • 算法步驟
  • • • 參數(shù)說(shuō)明
      • 算法描述
      • 算法過(guò)程圖解
  • 算法可行性證明
  • • 一.數(shù)學(xué)歸納法：
    • • 假設(shè)前提：
      • 歸納證明：
    • 二.貪吃蛇法（個(gè)人理解）：
  • PTA題目：

前言：

Dijkstra算法算是比較經(jīng)典的一個(gè)求單源最短路徑的一個(gè)算法了，有向圖和無(wú)向圖都可以使用，對(duì)于采用鄰接表還是鄰接矩陣存儲(chǔ)圖也沒(méi)有要求。

我在一開(kāi)始學(xué)習(xí)這個(gè)算法的時(shí)候，雖然知道算法的具體處理流程，但是對(duì)于算法的原理卻是一知半解，在做PTA一些算法題的時(shí)候遇到了稍微靈活的題目就歇菜了。所以翻看了一寫(xiě)文檔，自己歸納整理了一下原理，也有一些自己的想法，如有不當(dāng)之處，還望批評(píng)指正。

算法步驟

參數(shù)說(shuō)明

start : 出發(fā)結(jié)點(diǎn)
end : 終點(diǎn)
S : 已確定最短路徑的結(jié)點(diǎn)集合

算法描述

1.按題目要求建立鄰接矩陣或者鄰接表，將start放入S。

2.將所有結(jié)點(diǎn)在經(jīng)過(guò)S中的結(jié)點(diǎn)到達(dá)start的距離放入lowcast數(shù)組（用于存放最短路徑的長(zhǎng)度）。

3.在lowcast數(shù)組中找到距離start最近且未在S中的結(jié)點(diǎn)Vi，將Vi收錄進(jìn)S，并更新和Vi有直接邊相連的結(jié)點(diǎn)的lowcast的值（如果經(jīng)過(guò)Vi離start更近，則更換lowcast為經(jīng)過(guò)Vi的路徑）。

4.重復(fù)步驟2,3,直到所有的的結(jié)點(diǎn)被收錄進(jìn)S。

算法過(guò)程圖解

單源無(wú)向圖：
第一步：

第二步：

第三步：
第4步：
第5步：

第6步：

算法可行性證明

一.數(shù)學(xué)歸納法：

假設(shè)前提：

1.有x個(gè)結(jié)點(diǎn)，lowcast為一個(gè)長(zhǎng)為x的數(shù)組，lowcast的數(shù)組初始化為所有頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)S（已確定最短路徑的結(jié)點(diǎn)集合，初始為?）到達(dá)start的距離。
2.圖為無(wú)向連通圖。

可得lowcast有三種情況：

①?zèng)]有和S中任何結(jié)點(diǎn)有邊相連，值為inf
②start結(jié)點(diǎn)本身，值為0。
③與S中的編號(hào)為i結(jié)點(diǎn)有直接邊相連，值為min{lowcast[x]+map[x][v]|x∈i}

歸納證明：

證明目標(biāo)：
第n個(gè)被收錄進(jìn)S的結(jié)點(diǎn)一定已經(jīng)找的了最短路徑。

①當(dāng)n=1時(shí)，即與start有直接邊相連的結(jié)點(diǎn)距離start的最短路徑，最短路徑為與start直接相鄰的邊。當(dāng)該結(jié)點(diǎn)V被收錄進(jìn)了S，與V直接相連的結(jié)點(diǎn)可以通過(guò)V到達(dá)start，所以需要更新與V有直接邊相連的結(jié)點(diǎn)的lowcast的值。

②假設(shè)當(dāng)n等于k時(shí)，所有S中的結(jié)點(diǎn)都已經(jīng)找到了最短路徑，所以當(dāng)n為k+1時(shí)，尋找lowcast的最小值的節(jié)點(diǎn)V，該V必然與S中的結(jié)點(diǎn)有直接邊相連（如果沒(méi)有直接邊，則距離start必為inf，而inf又是最小值，圖一定不為連通圖，與假設(shè)矛盾），因?yàn)镾中的路徑已經(jīng)保證為最優(yōu)路徑，所以

L=min{distance{V->Vs}+lowcast(Vs)}(Vs為S中與V有直接邊相連的結(jié)點(diǎn))

就是V到start的最短路徑長(zhǎng)度，而L的計(jì)算已經(jīng)在上一輪操作完成，即是lowcast的更新。
所以假設(shè)成立，證畢。

二.貪吃蛇法（個(gè)人理解）：

首先需要理解S是一個(gè)確定的集合，經(jīng)過(guò)S的n個(gè)節(jié)點(diǎn)后到達(dá)start都可以理解為經(jīng)過(guò)一個(gè)S到達(dá)start。很好理解，這里我不做證明
1號(hào)結(jié)點(diǎn)被收錄進(jìn)S
2號(hào)結(jié)點(diǎn)被收錄進(jìn)了S
4號(hào)結(jié)點(diǎn)被收錄進(jìn)了S

3號(hào)結(jié)點(diǎn)被收錄進(jìn)了S
由上圖圖方法可得最短路徑。

PTA題目：

這篇文章是我在pat上做題時(shí)遇到了一個(gè)dijkstra算法的題目，想到自己大一雖然學(xué)了這個(gè)算法，也敲了好幾遍代碼了，但是總的思想還是不清晰，在pta上遇到時(shí)花了很多時(shí)間才AC，所以寫(xiě)了一篇博客整理了一下dijkstra算法的思路。其實(shí)這個(gè)算法不難，主要是理解數(shù)歸法，或者說(shuō)貪心+動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的思路，其實(shí)本質(zhì)都差不多。
另外我寫(xiě)了一個(gè)注釋較全的一個(gè)關(guān)于dijkstra算法的題解，對(duì)上面理解不清晰的話可以結(jié)合題目看。

PTA題目：緊急救援

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Dijkstra算法证明图解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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