5.4 圖的應用

圖的應用主要包括：最小生成樹、最短路徑、拓撲排序和關鍵路徑

5.4.1 最小生成樹(MST)

連通圖的生成樹：圖的極小連通子圖，包含圖中所有頂點，只含盡可能少的邊。若砍去最小生成樹的一條邊，使生成樹變成非連通圖，加上一條邊，會形成一條回路。

最小生成樹：邊權值最小的那棵生成樹

最小生成樹不唯一，但權值唯一，且是最小的。

算法：prim算法/kruskal算法，都是基于貪心算法

prim算法：

假設N={V,E}是連通網，ET是N上最小生成樹邊的集合。算法從VT-{u0}，ET={}開始，重復執行：在所有u∈VT,v∈V-VT的邊（u0，v0）∈E中找一條權值最小的邊，將此邊加入ET，將v0加入VT，知道VT=V為止。

該算法時間復雜度O(|v2|)，不依賴E，適用于求解邊稠密的圖的最小生成樹

kruskal算法：

初始化：VT=V，ET=?，每個頂點構成一棵獨立的樹

循環：按G的邊權遞增順序依次從E-ET選一條邊，若加入邊后不構成回路，則加入ET，否則舍棄。

通常采用堆來存放邊的集合，每次選擇最小權值的邊只需要O(log|E|)，可以采用并查集的數據結構表示T，構造T的復雜度為O(|E|log|E|)

適合邊稀疏，頂點較多的圖

5.4.2 最短路徑

帶權路徑長度最短的路徑稱最短路徑。求解最短路徑的算法通常依賴一性質：兩點之間的最短路徑也包含了路徑上其他頂點間的最短路徑。一般分單源最短路徑(某點到其他點的最短路徑)和每對頂點間的最短路徑。

問題：對任意給出的圖G(V,E)和起點s，終點t，如何求S到T的最短路徑。

解決最短路徑問題的常用算法有 Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、SPFA算法和Floyd算法。

1. Dijkstra算法

思想：對圖G設定集合S，存放已經訪問過的集合。然后從V-S中選擇與起點s距離最短的頂點記為u，訪問并加入集合S。之后，令頂點u為中介點，優化起點s與所有從u出發能到達的頂點v之間的最短距離。執行n次，直到集合S包含所有頂點。

算法具體實現：

（1）集合S可以用一個bool數組vis[]表示，當vis[i]=true時表示頂點Vi已被訪問。

（2）令int型數組d[]表示起點s到達頂點Vi的最短距離，起始時除了起點s的d[s]=0，其余頂點都賦為一個很大的數。

Dijkstra也基于貪心策略，時間復雜度O(|V2|)，若要求解每對頂點之間的最短距離，需要對每個頂點運行一次dijkstra算法，復雜度O(|V3|)

注：Dijkstra只能應對所有邊權都是非負數的情況，如果邊權出現負數，那么Dijkstra算法可能會出錯。

//偽代碼 Dijkstra(G,d[],s){初始化；for(循環n次){u = 使d[u]最小的還未被訪問的頂點的標號；記u被訪問；for(從u出發能到達的所有頂點v){if(v未被訪問&&以u為中介使s到頂點v的最短距離d[v]更優){優化d[v];}} }

2. Bellman-Ford算法和SPFA算法

Bellman-Ford算法（BF算法）可解決單源最短路徑問題，但能處理有負邊權的情況。

現在考慮環，從某個頂底出發，經過若干不同的頂點之后可以回到該頂點的情況。根據環中邊的邊權之和的正負分零環、正環、負環。零環和正環不會影響最短路徑的求解；而如果有負環，且從源點可以到達，就會影響求解，但如果負環無法從源點出發到達，則最短路徑的求解不會受到影響。

思想：BF算法設置一個數組d，存放從源點到達各個頂點的最短距離。同時BF算法返回一個bool值：若存在從源點可到達的負環，返回false；否則返回true，此時數組d存放的值就是從源點到達各頂點的最短距離。

具體實現：

對圖中邊進行V-1輪操作，每輪都遍歷圖中所有的邊：對每條邊u->v，若以u為中介點能使d[v]更小，就更新。

for(i = 0; i < n-1; i++){for(each edge u—>v){if(d[u]+length[u->v] < d[v]){d[v] = d[u] + length[u->v];}} }

此時，若無從源點可到達的負環，則數組d所有值都達到了最優。因此，只需再對所有邊進行一輪操作，判斷是否有某條邊u->v仍然可以更新，若有，則說明圖中有從源點可達的負環，返回false；否則，說明d數組已達到最優。

BF算法時間復雜度為O(VE)

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雖然BF算法思路簡潔，但時間復雜度很高。BF算法每輪操作都操作所有的邊，顯然有很多無意義的操作。注意到，只有當某個頂點u的d[u]值改變時，從它出發的邊的鄰接點v的d[v]值才有可能改變。由此可以進行優化：建立一個隊列，每次取出隊首u，對從u出發的邊進行松弛。如果可松弛則進行覆蓋。如果v不在隊列，則加入隊列。這樣操作直到隊空（說明無從源點可達的負環），或某個頂點的入隊次數超過v-1，說明有可達負環。這樣優化后的算法叫做SPFA算法。它期望的時間復雜度是O(kE)

queue<int> Q; 源點s入隊; while(隊非空){取出隊首元素u;for(u的所有鄰接邊u->v){if(d[u]+dis<d[v]){d[v] = d[u]+dis;if(v不在Q){v入隊；if(v入隊次數大于n-1){說明有可達負環，return；}}}} }

3. Floyd算法

解決全源最短路問題。時間復雜度O(n^3)，限制頂點數n在200以內。

枚舉頂點k∈[1,n]以頂點k為中介點，枚舉所有頂點對i和j（i∈[1,n],j∈[1,n]）如果 dis[i][k]+dis[k][j] < dis[i][j]成立賦值 dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j]

5.4.3 拓撲排序

有向無環圖：若一個有向圖中不存在環，稱DAG圖

AOV網：DAG表示一個工程，頂點表示活動，有向邊<vi, vj>表示活動vi必須先于vj進行。稱頂點表示活動的網絡，記為AOV網，拓撲排序復雜度O(|V|+|E|)

AOE網：在帶權有向圖中，以頂點表示事件，有向邊表示活動，邊上的權值表示完成該活動所需開銷。

最大路徑：源點到匯點的所有路徑中，具有最大路徑長度的路徑稱關鍵路徑，關鍵路徑上的活動稱關鍵活動。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构（5） -- 图的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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