特征分解

特征分解是針對方陣的，奇異值分解是應用于矩陣的。

方陣$A$的特征向量是指與$A$相乘后相當于對原向量進行縮放的非0向量$v$：
$$Av=\lambda v$$
標量$\lambda$稱為這個特征向量對應的特征值。

每個實對稱矩陣都可以分解成實特征向量和實特征值：
$$A=Q\Lambda Q^T$$
其中$Q$是$A$的特征向量組成的正交矩陣，$\Lambda$是對角矩陣。

所有特征值都是正數的矩陣被稱為正定，所有特征值都是非負數的矩陣稱為半正定。同理得負定及半負定。

奇異值分解

奇異值分解有更廣泛的應用，每個實數矩陣都有一個奇異值分解，但不一定有特征值分解。例如非方陣的矩陣沒有特征值分解，我們只能使用奇異值分解。

奇異值分解是將矩陣$A$分解成3個矩陣的乘積：
$$A=UD{V}^T$$
假設$A$是一個$m\times n$的矩陣，那么$U$是一個$m\times m$的矩陣，D是一個$m\times n$的矩陣，$V$是一個$n\times n$的矩陣。

這些矩陣每一個都有特殊的結構。矩陣$U$和$V$都是正交矩陣，矩陣$D$是對角矩陣（不一定是方陣）。

對角矩陣$D$對角線上的元素被稱為矩陣$A$的奇異值，矩陣$U$和$V$分別被稱為$A$的左奇異向量和右奇異向量。

SVD最有用的一個性質可能是拓展矩陣求逆到非方陣上。

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總結

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