問題：
? 給定n個整數（可能為負數）組成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求該序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。當所給的整均為負數時定義子段和為0，依此定義，所求的最優值為：
????Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n
??? 例如，當（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)時，最大子段和為20。

問題求解：

方法一：枚舉

學過程序設計的都會，那就是枚舉i和j，求i和a[i]到a[j]之間的和的最大值。

時間復雜度O（n^3）。這顯然是不能接受滴。其實這其中進行了大量的重復計算。

#include<iostream> using namespace std;/*簡單算法: **v[0]不保存數據 **T(n)=O(n^2). */ int MaxSum(int *v,int n,int *besti,int *bestj) {int sum=0;int i,j;for (i=1;i<=n;i++){int thissum=0;for (j=i;j<=n;j++){thissum+=v[j];if (thissum>sum){sum=thissum;*besti=i;*bestj=j;}}}return sum; }int main(void) {int n,m,i,j,k=0;int arr[100];cin>>n;m = n;while(n--){cin>>arr[k++];}int r = MaxSum(arr,m,&i,&j);cout<<i<<" "<<j<<endl;cout<<r<<endl;return 0; }

方法二：分治

考慮能不能有O（n*logn）的算法呢？當然有了……

如果將給定的序列a[1..n]分成長度相等的兩段a[1..n/2]和a[n/2+1:n]，分別求出這兩段的最大字段和。則該給定序列的最大字段和有三種情行：

1）和a[1..n/2]的最大字段和相同。

2）和a[n/2+1:n]的最大字段和相同。

3）最大字段和包含兩部分，一部分在中，另一部分在a[n/2+1..n]中。

前兩種情形我們可以用遞歸方法求出，第三種情形可以分別求出兩部分的最大字段和值再相加（注：a[1..n/2]這部分求最大字段和要以a[n/2]結束，a[n/2+1..n] 這部分求最大字段和要以a[n/2+1]開始）。序列的最大字段和即為這三種情形的最大值。

這種情況下，顯然時間復雜度為O(n*logn)。要是有O（n）的算法該多好呢？事實上還真有。這自然就是要想到動態規劃了吧！！！

?

#include<iostream> using namespace std;/*分治法: **將a[1n]分成a[1n/2]和a[n/2+1n],則a[1n]的最大字段和有三種情況: **(1)a[1n]的最大子段和與a[1n/2]的最大子段和相同 **(2)a[1n]的最大子段和與a[n/2n]的最大子段和相同 **(3)a[1n]的最大子段和為ai++aj,1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n **T(n)=2T(n/2)+O(n) **T(n)=O(nlogn) */ int MaxSum_DIV(int *v,int l,int r) { int k,sum=0; if(l==r) return v[l]>=0?v[l]:0; else { int center=(l+r)/2; int lsum=MaxSum_DIV(v,l,center); int rsum=MaxSum_DIV(v,center+1,r); int s1=0; int lefts=0; for (k=center;k>=l;k--) { lefts+=v[k]; if(lefts>s1) s1=lefts; } int s2=0; int rights=0; for (k=center+1;k<=r;k++) { rights+=v[k]; if(rights>s2) s2=rights; } sum=s1+s2; if(sum<lsum) sum=lsum; if(sum<rsum) sum=rsum; } return sum; } int main(void) { int n,m,i,j,k=0; int arr[100]; cin>>n; m = n;//記錄數組的長度 while(n--) { cin>>arr[k++]; } int r = MaxSum_DIV(arr,0,m); cout<<r<<endl; return 0; }

方法三：動態規劃

動態規劃不太好理解

#include<iostream> using namespace std;int MaxSum_DYN(int *a,int n) { int temp = 0,maxn = 0,k=1,i; int start,end; for(i=1;i<=n;i++) { temp+=a[i]; if(temp>maxn) { maxn = temp; start = k; end = i; } if(temp<0) { temp = 0; k = i+1; } } return maxn; } int main(void) { int n,m,i,j,k=0; int arr[100]; cin>>n; m = n;//記錄數組的長度 while(n--) { cin>>arr[k++]; } int r = MaxSum_DYN(arr,m); cout<<r<<endl; return 0; }

?分析一下這個算法，借用了一個臨時變量temp，其實有三種情況：

1. 若temp>maxn則更新maxn，并保存開始和結束位置；

2. 若temp<0則令temp = 0，因為temp<0則不可能繼續用temp更新最大值了；

3. 若0<temp<maxn，則不作操作，這是temp被認為是有潛力的，可能會用來更新后面的值。這樣的一次遍歷搜索到了所有的最大值。

（temp的使用時關鍵，好好理解這種思想。理解不了也沒關系，這是比較難想的方法。）

?編程珠璣上的經典題目，也已經被做爛了，除了最后一個方法，其他的都是浮云，但是最后一個方法寫得也比較啰嗦，k完全沒必要。

int Sum(int* a, int n) {int curSum = 0;int maxSum = 0;for (int i = 0; i < n; i++){if (curSum + a[i] < 0)curSum = 0;elsemaxSum = max(maxSum, curSum += a[i]);}return maxSum; }

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/samjustin/p/4562109.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最大子段和 分治与动态规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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