建議大家可以先去看看這篇博文
（https://www.cnblogs.com/dupengcheng/p/5487362.html）
乘法逆元：ax≡1 (mod p) 這個等式用中文描述就是 a乘一個數x并模p等于1，即 a%p*x%p=res【并非指res等于1】,而是res%p=1;其中的x為滿足范圍還要對p求模

需知道的是：
若ax≡1 mod f, 則稱a關于1模f的乘法逆元為x。也可表示為ax≡1(mod f)。
當a與f互素時，a關于模f的乘法逆元有解。如果不互素，則無解。如果f為素數，則從1到f-1的任意數都與f互素，即在1到f-1之間都恰好有一個關于模f的乘法逆元?！景俣劝倏?乘法逆元】

什么是逆元，為什么要求逆元？

計蒜客某題所表述：

那么了解基本知識后，我們來求逆元：
求逆元分為兩類：
1.a p 不互質時逆元無解
可用公式實現相同功能：

證明：

推薦題目：藍橋杯小數第n位

2.a p 互質時：
逆元的求法主要有三種（按快慢排序）：
第一：線性打表遞推法（遞推公式inv[i]=(p-p/i) * inv[p%i]%p）。
第二：擴展歐幾里得算法。（詳解)
第三：費馬小定理（快速冪qpow(a,p-2,p)）。-（最容易理解）

下面我們把每種求法的模板呈上:

例題引入：乘法逆元

Description

這是一道模板題。
給定正整數 n 與 p ，求 1～n 中的所有數在模 p 意義下的乘法逆元。

Input

一行兩個正整數 n 與 p

1 ≤ n ≤ 3×106 , n < p < 20000528

p 為質數。

Output

n 行，第 i 行一個正整數，表示 i 在模 p 意義下的乘法逆元。
Sample Input

10 13

Sample Output

1 7 9 10 8 11 2 5 3 4

第一：線性打表遞推法（遞推公式inv[i]=(p-p/i)inv[p%i]%p）
時間對比：

參考于：（https://blog.csdn.net/xuechen_gemgirl/article/details/80332859）

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long int ll inv[20000530]; //記吧線性模板 遞推公式挺簡單的 （p-p/i）*inv[p%i]%p; //數據量大的時候就明顯可以看到比快速冪快了 int main(void) {ll a,p;while(~scanf("%lld %lld",&a,&p)){memset(inv,0,sizeof(inv));inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=a;i++){inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;}for(int i=1;i<=a;i++)printf("%lld\n",inv[i]);}return 0; }

第二：擴展歐幾里得算法
時間復雜度：
為什么可以用擴展歐幾里得求得逆元？

我們都知道模就是余數，比如12%5=12-5 * 2=2，18%4=18-4*4=2。（/是程序運算中的除）可知a%b=a-(a/b)b

那么ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y寫成+的形式就是ax+py=1，為方便理解下面我們把p寫成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用擴展歐幾里得求了。
^{摘自上面鏈接（https://www.cnblogs.com/dupengcheng/p/5487362.html，推薦大家先看一遍）}

很多人，包括我一直無法理解擴展歐幾里得算法，在我看了好多博文后才大概了解。就拿我碰到的來說：
一擴展歐幾里得可以求最大公約數。
二求ax+by=gcd(a,b)的解x,y。逆元就包括其中。
x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元（即gcd()=1時的x/y）

現在來講一下擴展歐幾里得到底怎么來的:
其實我覺得大家只要搞懂后面遞歸的x,y怎么求就幾乎沒問題的了。
原式：ax+by=gcd(a,b)
遞歸：bx+(a%b)y^=gcd(a,b) 【x^和 y^就是上一步的x,y】
其中：a%b=a-(a/b)b
帶入后：ay^+b ( x ^ - ( a/b ) y ^ )=gcd(a,b);
再與原式對比：ax+by=gcd(a,b)
得出：{
x=y^;
x^-(a/b ) y ^=y;
}

這就是遞歸過程中，x和y的由來
而當b=0時，有：(遞歸結束時){a=gcd(a,b),x=1,y=0}
a1+b0=a=gcd(a,b)
可得出一個特解a(最大公約數)

這樣就可以得到每兩個相鄰狀態的x和y的轉化了，就可以在求gcd(a,b)的同時求對x，y求解

相信對于擴展歐幾里得算法，大家會有疑問為什么b=0時x=1;y=0?
其實當達到遞歸基時，此時的a就是gcd(最大公約數)，b=0,那么有ax+by=a。
故x必須等于1，y可以取任何正整數。

我還是有疑問上面說了“x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元”
大家都統一b=0時x=1;y=0;。既然y可以取任何正整數那么我就要換一個當b=0時：x=1;y=1;這個“x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元”結論還是成立的。

還有一點就是建議y取0，如果取其他數組，由于y增長較快，可能會有越界的問題。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//擴展歐幾里得算法 {if(b==0){x=1;y=0;return a; //到達遞歸邊界開始向上一層返回}int r=exgcd(b,a%b,x,y);int temp=y; //把x y變成上一層的y=x-(a/b)*y;x=temp;return r; //得到a b的最大公因數 } //事實證明還是遞推快 遞推快但是耗空間 int main(void) {int a,p;//p是mod數int x,y;while(~scanf("%d %d",&a,&p)){for(int i=1;i<=a;i++){exgcd(i,p,x,y);if(x>0)printf("%d\n",x);elseprintf("%d\n",x+p);//確保逆元x為正整數}}return 0; }

第三：費馬小定理（快速冪qpow(a,p-2,p)）
時間復雜度對比：

為什么可以用費馬小定理來求逆元呢？
(前提是a p 互質)
由費馬小定理 a^p-1≡1(mod p) , 變形得 a * a^p-2≡1(mod p)，答案已經很明顯了:若a,p互質,因為a * a^p-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),則逆元x=a^p-2(mod p),用快速冪可快速求之。
摘自上面鏈接（https://www.cnblogs.com/dupengcheng/p/5487362.html）

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long int ll qpow(ll a,ll b,ll p) {ll ans=1;while(b){if(b%2==1){ans%=p;a%=p;ans=ans*a%p; }a%=p;a=a*a%p;b=b>>1;}return ans%p; } int main(void) {ll a,p;//p是質數while(~scanf("%lld %lld",&a,&p)){for(int i=1;i<=a;i++){printf("%lld\n",qpow(i,p-2,p));}}return 0; }

明顯在大量數據的時候遞推打表快，平時普通問題用另外兩個比較方便，但是由于本人數學知識薄弱不能給出證明【捂臉】
給個大佬講解的鏈接：https://blog.csdn.net/guhaiteng/article/details/52123385

總結

以上是生活随笔為你收集整理的乘法逆元3种方法总结[最全]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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