定理1 矩陣$A_{n\times m}$的秩為$1$$?$$A=\alpha {\beta }^T$，其中$\alpha ,\beta$分別為$n,m$維非零列向量。

證明：
必要性：由等價標(biāo)準(zhǔn)型定理知存在可逆矩陣$P,Q$使得$A=P\left[\begin{array}{cc}1& O\\ O& O\end{array}\right]Q$，其中$\left[\begin{array}{cc}1& O\\ O& O\end{array}\right]={\left[\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right]}_{n\times 1}{\left[\begin{array}{cc}1& O\end{array}\right]}_{1\times m}$。
令$\alpha =P{\left[\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right]}_{n\times 1}$，${\beta }^T={\left[\begin{array}{cc}1& O\end{array}\right]}_{1\times m}Q$，則$A=\left(P{\left[\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right]}_{n\times 1}\right)\left({\left[\begin{array}{cc}1& O\end{array}\right]}_{1\times m}Q\right)=\alpha {\beta }^T$。
充分性：設(shè)$A=\alpha {\beta }^T$，則由“矩陣越乘秩越小”知$r(A)\le \min \{r(\alpha ),r(\beta )\}=1$。又$\alpha ,\beta$非零，故$A=O$，因此$r(A)>0$，$r(A)=1$。

定理2 矩陣$A_{n\times n}=\alpha {\beta }^T$（$\alpha ,\beta =0$），則：
(1) $?$常數(shù)$k$使得$A^2=kA$；
(2) $A$的特征值為${\beta }^T\alpha ,0,0,\dots ,0$；
(3) 當(dāng)且僅當(dāng)${\beta }^T\alpha =0$時$A$可以對角化。

證明：
(1) $A^2=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T=\alpha ({\beta }^T\alpha ){\beta }^T$，而${\beta }^T\alpha$是數(shù)，故可以提出來：$A^2=({\beta }^T\alpha )\alpha {\beta }^T=({\beta }^T\alpha )A$，令$k={\beta }^T\alpha$即得$A^2=kA$。
(2) 由$r(A)=1$知方程$Ax=0$有$n?1$個線性無關(guān)的特解，故$0$為$A$的特征值，其幾何重數(shù)為$n?1$；又由代數(shù)重數(shù)大于等于幾何重數(shù)知$0$的代數(shù)重數(shù)至少為$n?1$。同時，$A\alpha =\alpha {\beta }^T\alpha =\alpha ({\beta }^T\alpha )=({\beta }^T\alpha )\alpha$，因此${\beta }^T\alpha$是$A$的一個特征值，$\alpha$為對應(yīng)的特征向量。所以$A$的特征值為${\beta }^T\alpha ,0,0,\dots ,0$（共$n?1$個$0$）。
這個結(jié)論也表明：$\text{tr}(A)={\beta }^T\alpha$。
(3) 當(dāng)且僅當(dāng)${\beta }^T\alpha =0$時，特征值$0$的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)$(n?1)$，此時$A$可對角化。換言之，$A$不可對角化當(dāng)且僅當(dāng)向量$\alpha$，$\beta$正交。

總結(jié)

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