（一）兩種不同的平穩(wěn)性定義
1.嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程
若對(duì)于時(shí)間$t$的任意$n$個(gè)值$t_1<t_2<?<t_n$，序列中的隨機(jī)變量$X_{t_1+s},X_{t_2+s},...,X_{t_n+s}$聯(lián)合分布與整數(shù)$s$無(wú)關(guān)，即有：
$$F_{t_1,t_2,...t_n}(X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_n})=F_{t_1+s,t_2+s,...,t_n+s}(X_{t_1+s},X_{t_2+s},...,X_{t_n+s})$$

則稱$\{X_t\}$為嚴(yán)平穩(wěn)/狹義平穩(wěn)/強(qiáng)平穩(wěn)過(guò)程。
嚴(yán)平穩(wěn)的概率分布與時(shí)間無(wú)關(guān)。
2.寬平穩(wěn)過(guò)程
如時(shí)間序列有有窮的二階矩，且$\{X_t\}$滿足一下兩個(gè)條件：
$$\begin{array}{l}(1){\mu }_t=E(X_t)=c\\ (2)\gamma (t,s)=E(X_t?c)(X_s?c)=\gamma (t?s,0)\end{array}$$

則稱該時(shí)間序列為寬平穩(wěn)過(guò)程。
寬平穩(wěn)過(guò)程各隨機(jī)變量的均值為常數(shù)，且任意兩個(gè)變量的協(xié)方差僅與時(shí)間間隔$(t?s)$有關(guān)。
3.嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程和寬平穩(wěn)過(guò)程的聯(lián)系和區(qū)別
區(qū)別:
(1)嚴(yán)平穩(wěn)的概率分布隨時(shí)間的平移而不變，寬平穩(wěn)序列的均值和自協(xié)方差隨時(shí)間的平移而不變。
(2)一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)序列，不一定是寬平穩(wěn)序列;一個(gè)寬平穩(wěn)序列也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)序列。
聯(lián)系:
(1)若一個(gè)序列為嚴(yán)平穩(wěn)序列，且有有窮的二階矩，那么該序列也必為寬平穩(wěn)序列。
(2)若時(shí)間序列為正態(tài)序列(即它的任何有限維分布都是正態(tài)分布)，那么該序列為嚴(yán)平穩(wěn)序列和寬平穩(wěn)序列是相互等價(jià)的。

（二）時(shí)間序列的分布、均值和協(xié)方差函數(shù)
1.時(shí)間序列的概率分布
由于確定時(shí)間序列的分布函數(shù)一般不可能，人們更加注意使用時(shí)間序列的各種特征量的描述，如均值函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)等，這些特征量往往能代表隨機(jī)變量的主要特征。
2.均值函數(shù)
一個(gè)時(shí)間序列$\{X_t,t=0,t=\pm 1,t=\pm 2,....,\}$的均值函數(shù)指：
$${\mu }_t=E(X_t)={\int }_{?a}^{a}Xd(F_t(X_t))$$

${\mu }_t$即為$\{X_t\}$的均值函數(shù)，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)實(shí)數(shù)列，均值表示隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)時(shí)刻的擺動(dòng)中心。
3.自協(xié)方差函數(shù)
$$\gamma (t,s)=E(X_t?{\mu }_t)(X_s?{\mu }_s)={\int }_{?a}^a{\int }_{?a}^a(x?{\mu }_t)(y?{\mu }_s)d{F}_{t,s}(x,y)$$

對(duì)稱性:$\gamma (t,s)=\gamma (s,t)$
4.自相關(guān)函數(shù)
$$\rho (t,s)=\frac{\gamma (t,s)}{\sqrt{\gamma (t,t)\gamma (s,s)}}$$

自相關(guān)函數(shù)描述了時(shí)間序列的$\{X_t\}$自身的相關(guān)結(jié)構(gòu)。
時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)具有對(duì)稱性，且有$\rho (t,t)=1$

（三）平穩(wěn)序列的自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)
1.平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)
若$\{X_t\}$為平穩(wěn)序列，假定$E{X}_t=0$，則我們可以用以下記號(hào)表示平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)。
$${\gamma }_k=E(X_t?E{X}_t)(X_{t?k}?E{X}_{t?k})=E{X}_t{X}_{t?k}$$

相應(yīng)的，嚴(yán)平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)記為:
$${\rho }_k=\frac{{\gamma }_k}{{\gamma }_0}$$

2.平穩(wěn)序列的自協(xié)方差序列和自相關(guān)函數(shù)列的性質(zhì)
$$\begin{array}{l}(1){\gamma }_k={\gamma }_{?k}{\rho }_k={\rho }_{?k}\\ (2){\gamma }_k\le |{\gamma }_0||{\rho }_k|\le 1\end{array}$$

(四)白噪聲序列和獨(dú)立同分布序列
1.白噪聲序列
定義：若時(shí)間序列$\{X_t\}$滿足下列性質(zhì)，
$$\begin{array}{l}(1)E{X}_t=0\\ (2)E{X}_t{X}_s=\{\begin{array}{l}{\sigma }^2,t=s\\ 0,t=s\end{array}\end{array}$$

則稱此序列為白噪聲序列。
白噪聲序列是一種特殊的寬平穩(wěn)序列，也是一種最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。
2.獨(dú)立同分布序列
定義：如果時(shí)間序列$\{X_t\}$中的隨機(jī)變量$X_t,t=0,\pm 1,\pm 2,...$是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且$X_t$具有相同的分布（當(dāng)$X_t$有一階矩時(shí)，往往還假定$E{X}_t=0$），則稱$\{X_t\}$為獨(dú)立同分布序列。
獨(dú)立同分布序列$\{X_t\}$是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)序列
一般來(lái)說(shuō)，白噪聲序列與獨(dú)立同分布序列是不同的兩種序列。
但是當(dāng)白噪聲序列為正態(tài)序列時(shí)，它也是獨(dú)立同分布序列，此時(shí)我們稱其為正態(tài)白噪聲序列。

總結(jié)

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