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文章目錄

• 1、基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
• • 數(shù)組
  • 鏈表
  • 隊(duì)列、單調(diào)隊(duì)列、雙端隊(duì)列
  • 棧
• 2、中極數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
• • 堆
  • 并查集與帶權(quán)并查集
  • hash表
  • • 自然溢出
    • 雙hash
• 3、高級(jí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
• • 樹(shù)狀數(shù)組
  • 線段樹(shù)及其合并
  • • Zkw線段樹(shù)
    • Fhq線樹(shù)
    • 超哥線段樹(shù)
  • 平衡樹(shù)
  • • Treap隨機(jī)平衡二叉樹(shù)
    • Splay伸展樹(shù)
    • Scapegoat Tree替罪羊樹(shù)
    • 后綴平衡樹(shù)
  • 塊狀數(shù)組、塊狀鏈表
  • 樹(shù)套樹(shù)
  • • 線段樹(shù)套線段樹(shù)
    • 線段樹(shù)套平衡樹(shù)
    • 平衡樹(shù)套線段樹(shù)
  • 可并堆
  • • 左偏樹(shù)
    • 配對(duì)堆
  • KDTree、四分樹(shù)
  • 舞蹈鏈（DLX）、二進(jìn)制分組
  • 劃分樹(shù)
• 4、可持久化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
• • 可持久化線段樹(shù)（主席樹(shù)）
  • 可持久化平衡樹(shù)
  • 可持久化塊狀數(shù)組
• 5、字符串相關(guān)算法及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
• • KMP
  • AC自動(dòng)機(jī)
  • 后綴數(shù)組
  • 后綴樹(shù)
  • 后綴自動(dòng)機(jī)
  • 字典樹(shù)Trie
  • Manacher
• 6、圖論相關(guān)
• • 最小生成樹(shù)
  • • Prim
    • Kruskal
  • 最短路、次短路、K短路
  • • Spfa
    • Dijkstra
    • Floyd
  • 圖的聯(lián)通
  • • 連通分量
    • 割點(diǎn)、割邊
  • 網(wǎng)絡(luò)流
  • • 最大流
    • 最小割
    • 費(fèi)用流
    • 分?jǐn)?shù)規(guī)劃
  • 樹(shù)相關(guān)
  • • 樹(shù)上倍增、公共祖先
    • 樹(shù)鏈剖分
    • 樹(shù)的分治算法（點(diǎn)分治、邊分治、動(dòng)態(tài)樹(shù)分治）
  • 動(dòng)態(tài)樹(shù)（LCT、樹(shù)分塊）
  • 虛樹(shù)
  • prufer編碼
  • 拓?fù)渑判?/li>
  • 歐拉圖
  • 二分圖
  • • KM算法
    • 匈牙利算法
  • 仙人掌算法
• 7、數(shù)學(xué)相關(guān)
• • （擴(kuò)展）歐幾里得算法、篩法、快速冪
  • • 斐蜀定理
    • 更相減損術(shù)
  • 歐拉函數(shù)與降冪
  • 費(fèi)馬小定理
  • 排列組合
  • • Lucas定理
    • 楊輝三角
  • 乘法逆元
  • 矩陣乘法
  • 數(shù)學(xué)期望與概率
  • 博弈論
  • • Sg函數(shù)
    • 樹(shù)上刪邊游戲
  • 拉格朗日乘子法
  • 中國(guó)剩余定理
  • 線性規(guī)劃與網(wǎng)絡(luò)流
  • 辛普森積分
  • 模擬線性方程組
  • 容斥原理與莫比烏斯反演
  • 快速傅立葉變換
  • 大步小步BSGS法（擴(kuò)展）
  • 高斯消元
  • 線性篩
  • Min25篩與杜教篩
  • 母函數(shù)
  • Burnside引理與Polya計(jì)數(shù)
  • Miller-Robin素?cái)?shù)檢測(cè)
  • Pollard大數(shù)分解
• 8、動(dòng)態(tài)規(guī)劃
• • 基礎(chǔ)形式（記憶化搜索、斯坦納樹(shù)、背包九講）
  • • 背包dp
    • 線性dp
    • 區(qū)間dp
    • 狀壓dp
    • 環(huán)形dp
    • 樹(shù)形dp
    • 數(shù)位dp
    • 倍增dp
    • 插頭dp
  • 斜率優(yōu)化與四邊形不等式優(yōu)化
  • 環(huán)+外向樹(shù)上的dp
• 9、計(jì)算幾何
• • 計(jì)算幾何基礎(chǔ)
  • 三位計(jì)算幾何初步
  • 梯形剖分與三角形剖分
  • 凸包
  • 旋轉(zhuǎn)卡殼
  • 半平面交
  • pick定理
  • 掃描線
• 10、搜索相關(guān)
• • dfs、bfs
  • A*算法
  • 迭代加深搜索（IDA*）、雙向廣搜
• 11、特殊算法
• • 莫隊(duì)算法、樹(shù)上莫隊(duì)
  • 模擬退火
  • 爬山算法
  • 隨機(jī)增量算法
• 12、其他重要工具與方法
• • 模擬與貪心
  • 二分法、三分法（求偏導(dǎo)）
  • 分治、CDQ分治
  • 高精度
  • 離線
  • ST表
• 13、STL
• • map
  • priority_queue
  • set
  • bitset
  • rope
• 14、非常見(jiàn)算法
• • 朱劉算法
  • 弦圖與區(qū)間圖

1、基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

數(shù)組

數(shù)組（Array）是有序的元素序列。 [1] 若將有限個(gè)類(lèi)型相同的變量的集合命名，那么這個(gè)名稱(chēng)為數(shù)組名。組成數(shù)組的各個(gè)變量稱(chēng)為數(shù)組的分量，也稱(chēng)為數(shù)組的元素，有時(shí)也稱(chēng)為下標(biāo)變量。用于區(qū)分?jǐn)?shù)組的各個(gè)元素的數(shù)字編號(hào)稱(chēng)為下標(biāo)。數(shù)組是在程序設(shè)計(jì)中，為了處理方便， 把具有相同類(lèi)型的若干元素按有序的形式組織起來(lái)的一種形式。 [1] 這些有序排列的同類(lèi)數(shù)據(jù)元素的集合稱(chēng)為數(shù)組。
數(shù)組是用于儲(chǔ)存多個(gè)相同類(lèi)型數(shù)據(jù)的集合。

鏈表

鏈表是一種物理存儲(chǔ)單元上非連續(xù)、非順序的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)元素的邏輯順序是通過(guò)鏈表中的指針鏈接次序?qū)崿F(xiàn)的。鏈表由一系列結(jié)點(diǎn)（鏈表中每一個(gè)元素稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)）組成，結(jié)點(diǎn)可以在運(yùn)行時(shí)動(dòng)態(tài)生成。每個(gè)結(jié)點(diǎn)包括兩個(gè)部分：一個(gè)是存儲(chǔ)數(shù)據(jù)元素的數(shù)據(jù)域，另一個(gè)是存儲(chǔ)下一個(gè)結(jié)點(diǎn)地址的指針域。 相比于線性表順序結(jié)構(gòu)，操作復(fù)雜。由于不必須按順序存儲(chǔ)，鏈表在插入的時(shí)候可以達(dá)到O(1)的復(fù)雜度，比另一種線性表順序表快得多，但是查找一個(gè)節(jié)點(diǎn)或者訪問(wèn)特定編號(hào)的節(jié)點(diǎn)則需要O(n)的時(shí)間，而線性表和順序表相應(yīng)的時(shí)間復(fù)雜度分別是O(logn)和O(1)。
使用鏈表結(jié)構(gòu)可以克服數(shù)組鏈表需要預(yù)先知道數(shù)據(jù)大小的缺點(diǎn)，鏈表結(jié)構(gòu)可以充分利用計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間，實(shí)現(xiàn)靈活的內(nèi)存動(dòng)態(tài)管理。但是鏈表失去了數(shù)組隨機(jī)讀取的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)鏈表由于增加了結(jié)點(diǎn)的指針域，空間開(kāi)銷(xiāo)比較大。鏈表最明顯的好處就是，常規(guī)數(shù)組排列關(guān)聯(lián)項(xiàng)目的方式可能不同于這些數(shù)據(jù)項(xiàng)目在記憶體或磁盤(pán)上順序，數(shù)據(jù)的存取往往要在不同的排列順序中轉(zhuǎn)換。鏈表允許插入和移除表上任意位置上的節(jié)點(diǎn)，但是不允許隨機(jī)存取。鏈表有很多種不同的類(lèi)型：單向鏈表，雙向鏈表以及循環(huán)鏈表。鏈表可以在多種編程語(yǔ)言中實(shí)現(xiàn)。像Lisp和Scheme這樣的語(yǔ)言的內(nèi)建數(shù)據(jù)類(lèi)型中就包含了鏈表的存取和操作。程序語(yǔ)言或面向?qū)ο笳Z(yǔ)言，如C,C++和Java依靠易變工具來(lái)生成鏈表。

隊(duì)列、單調(diào)隊(duì)列、雙端隊(duì)列

隊(duì)列是一種特殊的線性表，特殊之處在于它只允許在表的前端（front）進(jìn)行刪除操作，而在表的后端（rear）進(jìn)行插入操作，和棧一樣，隊(duì)列是一種操作受限制的線性表。進(jìn)行插入操作的端稱(chēng)為隊(duì)尾，進(jìn)行刪除操作的端稱(chēng)為隊(duì)頭。
單調(diào)隊(duì)列，即單調(diào)遞減或單調(diào)遞增的隊(duì)列。使用頻率不高，但在有些程序中會(huì)有非同尋常的作用。
deque（double-ended queue，雙端隊(duì)列）是一種具有隊(duì)列和棧的性質(zhì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。雙端隊(duì)列中的元素可以從兩端彈出，相比list增加[]運(yùn)算符重載。

棧

棧（stack）又名堆棧，它是一種運(yùn)算受限的線性表。限定僅在表尾進(jìn)行插入和刪除操作的線性表。這一端被稱(chēng)為棧頂，相對(duì)地，把另一端稱(chēng)為棧底。向一個(gè)棧插入新元素又稱(chēng)作進(jìn)棧、入棧或壓棧，它是把新元素放到棧頂元素的上面，使之成為新的棧頂元素；從一個(gè)棧刪除元素又稱(chēng)作出棧或退棧，它是把棧頂元素刪除掉，使其相鄰的元素成為新的棧頂元素。

2、中極數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

堆

堆(Heap)是計(jì)算機(jī)科學(xué)中一類(lèi)特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的統(tǒng)稱(chēng)。堆通常是一個(gè)可以被看做一棵完全二叉樹(shù)的數(shù)組對(duì)象。

并查集與帶權(quán)并查集

并查集，在一些有N個(gè)元素的集合應(yīng)用問(wèn)題中，我們通常是在開(kāi)始時(shí)讓每個(gè)元素構(gòu)成一個(gè)單元素的集合，然后按一定順序?qū)儆谕唤M的元素所在的集合合并，其間要反復(fù)查找一個(gè)元素在哪個(gè)集合中。這一類(lèi)問(wèn)題近幾年來(lái)反復(fù)出現(xiàn)在信息學(xué)的國(guó)際國(guó)內(nèi)賽題中。其特點(diǎn)是看似并不復(fù)雜，但數(shù)據(jù)量極大，若用正常的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)描述的話，往往在空間上過(guò)大，計(jì)算機(jī)無(wú)法承受；即使在空間上勉強(qiáng)通過(guò)，運(yùn)行的時(shí)間復(fù)雜度也極高，根本就不可能在比賽規(guī)定的運(yùn)行時(shí)間（1～3秒）內(nèi)計(jì)算出試題需要的結(jié)果，只能用并查集來(lái)描述。
并查集是一種樹(shù)型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用于處理一些不相交集合（disjoint sets）的合并及查詢問(wèn)題。常常在使用中以森林來(lái)表示。
帶權(quán)并查集是普通并查集的進(jìn)階版本，功能更加強(qiáng)大。

普通并查集只能判斷兩個(gè)元素是否在一個(gè)集合中，帶權(quán)并查集可以維護(hù)集合元素之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系由每個(gè)元素的權(quán)值維護(hù)。

對(duì)權(quán)值的維護(hù)，我們需要在find()，unite()操作中分別進(jìn)行修改。

hash表

散列表（Hash table，也叫哈希表），是根據(jù)關(guān)鍵碼值(Key value)而直接進(jìn)行訪問(wèn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，它通過(guò)把關(guān)鍵碼值映射到表中一個(gè)位置來(lái)訪問(wèn)記錄，以加快查找的速度。這個(gè)映射函數(shù)叫做散列函數(shù)，存放記錄的數(shù)組叫做散列表。
給定表M，存在函數(shù)f(key)，對(duì)任意給定的關(guān)鍵字值key，代入函數(shù)后若能得到包含該關(guān)鍵字的記錄在表中的地址，則稱(chēng)表M為哈希(Hash）表，函數(shù)f(key)為哈希(Hash) 函數(shù)。

自然溢出

溢出哈希表是在hash 表填入過(guò)程中，將沖突的元素順序填入到溢出表中，而當(dāng)查找過(guò)程中發(fā)現(xiàn)沖突時(shí)，就在溢出表中進(jìn)行順序查找。

雙hash

雙重哈希屬于開(kāi)放地址哈希中的一種解決沖突方案，也就是說(shuō)如果一次哈希不能解決問(wèn)題的時(shí)候，要再次哈希

3、高級(jí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

樹(shù)狀數(shù)組

樹(shù)狀數(shù)組或二叉索引樹(shù)（英語(yǔ)：Binary Indexed Tree），又以其發(fā)明者命名為Fenwick樹(shù)，最早由Peter M. Fenwick于1994年以A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables為題發(fā)表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解決數(shù)據(jù)壓縮里的累積頻率（Cumulative Frequency）的計(jì)算問(wèn)題，現(xiàn)多用于高效計(jì)算數(shù)列的前綴和， 區(qū)間和。

線段樹(shù)及其合并

線段樹(shù)合并說(shuō)全來(lái)就是動(dòng)態(tài)開(kāi)點(diǎn)權(quán)值線段樹(shù)合并，所以你需要掌握權(quán)值線段樹(shù)的基本知識(shí)以及知道什么是動(dòng)態(tài)開(kāi)點(diǎn)

對(duì)于兩個(gè)普通權(quán)值線段樹(shù)如果暴力合并的話復(fù)雜度將會(huì)是n log ?n，更別說(shuō)是合并n棵權(quán)值線段樹(shù)了（炸空間、炸內(nèi)存），但是在動(dòng)態(tài)開(kāi)點(diǎn)權(quán)值線段樹(shù)中，這一操作是可以優(yōu)化為log n的。

Zkw線段樹(shù)

遞歸式線段樹(shù)的常數(shù)很大，經(jīng)常被卡，而zkw線段樹(shù)的常數(shù)很小

Fhq線樹(shù)

FHQ Treap，又名無(wú)旋Treap，是一種不需要旋轉(zhuǎn)的平衡樹(shù)，是范浩強(qiáng)基于Treap發(fā)明的。FHQ Treap具有代碼短，易理解，速度快的優(yōu)點(diǎn)。（當(dāng)然跟紅黑樹(shù)等更高級(jí)的平衡樹(shù)比一下就是……）至少它在OI中算是很優(yōu)秀的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)了。

超哥線段樹(shù)

超哥線段樹(shù)，實(shí)際上是線段樹(shù)的標(biāo)記永久化。

平衡樹(shù)

平衡樹(shù)(Balance Tree，BT) 指的是，任意節(jié)點(diǎn)的子樹(shù)的高度差都小于等于1。常見(jiàn)的符合平衡樹(shù)的有，B樹(shù)（多路平衡搜索樹(shù)）、AVL樹(shù)（二叉平衡搜索樹(shù)）等。平衡樹(shù)可以完成集合的一系列操作, 時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度相對(duì)于“2-3樹(shù)”要低，在完成集合的一系列操作中始終保持平衡，為大型數(shù)據(jù)庫(kù)的組織、索引提供了一條新的途徑。 [1]
設(shè)“2-3 樹(shù)”的每個(gè)結(jié)點(diǎn)存放一組與應(yīng)用問(wèn)題有關(guān)的數(shù)據(jù), 且有一個(gè)關(guān)鍵字 (>0的整數(shù)) 作為標(biāo)識(shí)。關(guān)鍵字的存放規(guī)則如下:對(duì)于結(jié)點(diǎn)X, 設(shè)左、中、右子樹(shù)均不空, 則左子樹(shù)任一結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字小于中子樹(shù)中任一結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字;中子樹(shù)中任一結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字小于結(jié)點(diǎn)X的關(guān)鍵字;而X的關(guān)鍵字又小于右子樹(shù)中任一結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字, 稱(chēng)這樣的“2-3樹(shù)”為平衡樹(shù)。[1]

Treap隨機(jī)平衡二叉樹(shù)

樹(shù)堆（Treap）是二叉排序樹(shù)（Binary Sort Tree）與堆（Heap）結(jié)合產(chǎn)生的一種擁有堆性質(zhì)的二叉排序樹(shù)。

Splay伸展樹(shù)

Splay(伸展樹(shù))是一種二叉排序樹(shù)，它能在O(log2 n)的時(shí)間內(nèi)完成插入、查找和刪除操作。

Splay(伸展樹(shù))能實(shí)現(xiàn)線段樹(shù)不能實(shí)現(xiàn)的操作，比如區(qū)間翻轉(zhuǎn)。

Splay的核心函數(shù)是旋轉(zhuǎn)操作，將點(diǎn)x旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)k下面。特別的rotate (x, 0)表示把x旋轉(zhuǎn)至根。旋轉(zhuǎn)操作不會(huì)改變每個(gè)節(jié)點(diǎn)在該樹(shù)的中序遍歷中的位置。

旋轉(zhuǎn)的目的：在每次查詢、修改操作完，將操作的節(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到根，就像是輸入法，常用的詞匯會(huì)在第一頁(yè)就出現(xiàn)，如果是第一次用，則需要翻好幾頁(yè)。可以保證均攤的時(shí)間復(fù)雜度為 [公式] 。

Scapegoat Tree替罪羊樹(shù)

替罪羊樹(shù)是計(jì)算機(jī)科學(xué)中，一種基于部分重建的自平衡二叉搜索樹(shù)。在替罪羊樹(shù)上，插入或刪除節(jié)點(diǎn)的平攤最壞時(shí)間復(fù)雜度是O(log n)，搜索節(jié)點(diǎn)的最壞時(shí)間復(fù)雜度是O(log n)

后綴平衡樹(shù)

如果需要?jiǎng)討B(tài)維護(hù)后綴數(shù)組，支持在字符串前端插入一個(gè)字符，詢問(wèn)后綴的大小關(guān)系，如何做呢？

這是一個(gè)不斷插入的問(wèn)題，可以從增量的角度考慮。我們?cè)谇岸瞬迦胍粋€(gè)字符，其實(shí)就是插入了一個(gè)新的后綴。我們的問(wèn)題其實(shí)就是這個(gè)后綴排名多少。我們可以用平衡樹(shù)維護(hù)一下后綴數(shù)組，從根節(jié)點(diǎn)開(kāi)始二分比較這個(gè)后綴的大小，看看它應(yīng)該被插到哪里。現(xiàn)在問(wèn)題就變成了快速比較一個(gè)新的后綴和一個(gè)已有的后綴。

如果這個(gè)新的后綴和當(dāng)前比較的后綴的首字符不同，那么比較結(jié)果是顯然的；如果新的后綴和當(dāng)前比較的后綴的首字符相同，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了比較原來(lái)已有的兩個(gè)后綴的大小關(guān)系。我們?cè)谄胶鈽?shù)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)上維護(hù)一個(gè)值x∈[0,1]，代表它的大小，左兒子為的關(guān)鍵值為[l,mid]，右兒子的關(guān)鍵值為[mid,r]，那么只要直接比較這個(gè)值就可以啦。

然而如果平衡樹(shù)的深度過(guò)大，那么這個(gè)值會(huì)爆實(shí)數(shù)的精度。所以我們采用深度為O(logn)的平衡樹(shù)。但如果平衡樹(shù)需要旋轉(zhuǎn)，那么它的子樹(shù)需要全部重新計(jì)算關(guān)鍵值。所以我們需要使用重量平衡樹(shù)，其子樹(shù)大小均攤O(logn)，所以每次插入旋轉(zhuǎn)后整個(gè)子樹(shù)重算一下。

塊狀數(shù)組、塊狀鏈表

塊狀數(shù)組，即把一個(gè)數(shù)組分為幾個(gè)塊，塊內(nèi)信息整體保存，若查詢時(shí)遇到兩邊不完整的塊直接暴力查詢。一般情況下，塊的長(zhǎng)度為O(√n) 。

樹(shù)套樹(shù)

線段樹(shù)套線段樹(shù)

樹(shù)套樹(shù)寫(xiě)法還是比較好理解的，不過(guò)要是讓自己硬套的話可能很不容易套出來(lái)的

這里的二維線段樹(shù)，外層線段樹(shù)是對(duì)方陣的正投影，而內(nèi)層線段樹(shù)是對(duì)方陣的側(cè)投影

線段樹(shù)套平衡樹(shù)

線段樹(shù)的作用是區(qū)間修改和查詢，平衡樹(shù)的作用是查詢第k大，k的排名，前驅(qū)，后繼。這兩個(gè)結(jié)合起來(lái)，就變成了可以區(qū)間修改和查詢第k大，k的排名，前驅(qū)，后繼的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：樹(shù)套樹(shù)-線段樹(shù)套平衡樹(shù)。

平衡樹(shù)套線段樹(shù)

線段樹(shù)維護(hù)的是區(qū)間，然后對(duì)于線段樹(shù)維護(hù)的區(qū)間的所有數(shù)字都維護(hù)一個(gè)平衡樹(shù)，然后所有的操作都對(duì)每個(gè)平衡樹(shù)單獨(dú)處理。

可并堆

可并堆，顧名思義，就是可以合并的堆。堆滿足一個(gè)性質(zhì)，就是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，都大于或者等于他的所有子樹(shù)上的節(jié)點(diǎn)，自然在這里我所講的是結(jié)點(diǎn)的權(quán)值。顯而易見(jiàn)，既然可并堆是堆的一種，容易推出，可并堆也滿足這個(gè)性質(zhì)。

左偏樹(shù)

左偏樹(shù)（英語(yǔ)：leftist tree或leftist heap），也可稱(chēng)為左偏堆、左傾堆，是計(jì)算機(jī)科學(xué)中的一種樹(shù)，是一種優(yōu)先隊(duì)列實(shí)現(xiàn)方式，屬于可并堆，在信息學(xué)中十分常見(jiàn)，在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題、最值問(wèn)題、模擬問(wèn)題和貪心問(wèn)題等等類(lèi)型的題目中，左偏樹(shù)都有著廣泛的應(yīng)用。斜堆是比左偏樹(shù)更為一般的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

配對(duì)堆

配對(duì)堆是一種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、均攤復(fù)雜度優(yōu)越的堆數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，由Michael Fredman、羅伯特·塞奇威克、Daniel Sleator、羅伯特·塔揚(yáng)于1986年發(fā)明。配對(duì)堆是一種多叉樹(shù)，并且可以被認(rèn)為是一種簡(jiǎn)化的斐波那契堆。對(duì)于實(shí)現(xiàn)例如普林姆最小生成樹(shù)算法等算法，配對(duì)堆是一個(gè)更優(yōu)的選擇，

KDTree、四分樹(shù)

kd-tree（k-dimensional樹(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)），是一種對(duì)k維空間中的實(shí)例點(diǎn)進(jìn)行存儲(chǔ)以便對(duì)其進(jìn)行快速檢索的樹(shù)形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 [1] 主要應(yīng)用于多維空間關(guān)鍵數(shù)據(jù)的搜索（如：范圍搜索和最近鄰搜索）。K-D樹(shù)是二進(jìn)制空間分割樹(shù)的特殊的情況。
在計(jì)算機(jī)科學(xué)里，k-d樹(shù)（ k-維樹(shù)的縮寫(xiě)）是在k維歐幾里德空間組織點(diǎn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。k-d樹(shù)可以使用在多種應(yīng)用場(chǎng)合，如多維鍵值搜索（例：范圍搜尋及最鄰近搜索）。k-d樹(shù)是空間二分樹(shù)（Binary space partitioning ）的一種特殊情況。 [2]

四分樹(shù)就是用一個(gè)類(lèi)似于線段樹(shù)的東西來(lái)維護(hù)一個(gè)矩陣，就是每個(gè)點(diǎn)有四個(gè)兒子
然后每個(gè)兒子代表切分之后的一塊區(qū)域

舞蹈鏈（DLX）、二進(jìn)制分組

舞蹈鏈（Dancing Links）算法在求解精確覆蓋問(wèn)題時(shí)效率驚人。

二進(jìn)制分組就是把操作的數(shù)量二進(jìn)制拆分，每個(gè)二進(jìn)制位數(shù)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)維護(hù)
合并的時(shí)候，暴力重構(gòu)
每次查詢，從logn個(gè)塊依次用維護(hù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)查詢

劃分樹(shù)

劃分樹(shù)定義為,它的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)保存區(qū)間[lft,rht]所有元素,元素順序與原數(shù)組(輸入)相同,但是,兩個(gè)子樹(shù)的元素為該節(jié)點(diǎn)所有元素排序后(rht-lft+1)/2個(gè)進(jìn)入左子樹(shù),其余的到右子樹(shù),同時(shí)維護(hù)一個(gè)num域,num[i]表示lft->i這個(gè)點(diǎn)有多少個(gè)進(jìn)入了左子樹(shù)。

4、可持久化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

可持久化線段樹(shù)（主席樹(shù)）

主席樹(shù)，也叫做可持久化線段樹(shù)，準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，應(yīng)該叫做可持久化權(quán)值線段樹(shù)，因?yàn)槠渲械拿恳活w樹(shù)都是一顆權(quán)值線段樹(shù)。

所謂權(quán)值線段樹(shù)，就是指線段樹(shù)的葉子節(jié)點(diǎn)保存的是當(dāng)前值的個(gè)數(shù)。這樣說(shuō)起來(lái)比較抽象，下面用具體例子來(lái)簡(jiǎn)單闡述。

可持久化平衡樹(shù)

treap = tree + heap，即同時(shí)滿足二叉搜索樹(shù)和堆的性質(zhì)。

為了使樹(shù)盡可能的保證兩邊的大小平衡，所以有一個(gè)key值，使他滿足堆得性質(zhì)，來(lái)維護(hù)樹(shù)的平衡，key值是隨機(jī)的。
treap有一般平衡樹(shù)的功能，前驅(qū)、后繼、第k大、查詢排名、插入、刪除。也比較好寫(xiě)

可持久化塊狀數(shù)組

題目中要求可以查詢歷史狀態(tài)，最暴力的想法是開(kāi)a[m][n]的二維數(shù)組，每次修改暴力復(fù)制并修改，每次查詢暴力掃描，時(shí)間復(fù)雜度是O(mn)的，但這顯然是不行的.

這個(gè)時(shí)候其實(shí)很容易想到線段樹(shù)，但線段樹(shù)維護(hù)的是當(dāng)前狀態(tài)而無(wú)法維護(hù)歷史狀態(tài)，一種暴力的想法是開(kāi)m棵線段樹(shù)，但這樣MLE的風(fēng)險(xiǎn)可謂巨大。

但我們發(fā)現(xiàn)，因?yàn)轭}目修改的是一個(gè)點(diǎn)的值，在線段樹(shù)上，會(huì)被修改的點(diǎn)只有l(wèi)ogn個(gè)，因此可以每次只新建這logn個(gè)結(jié)點(diǎn)

5、字符串相關(guān)算法及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

KMP

KMP算法是一種改進(jìn)的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人們稱(chēng)它為克努特—莫里斯—普拉特操作（簡(jiǎn)稱(chēng)KMP算法）。KMP算法的核心是利用匹配失敗后的信息，盡量減少模式串與主串的匹配次數(shù)以達(dá)到快速匹配的目的。具體實(shí)現(xiàn)就是通過(guò)一個(gè)next()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，函數(shù)本身包含了模式串的局部匹配信息。KMP算法的時(shí)間復(fù)雜度O(m+n) [1] 。

AC自動(dòng)機(jī)

Aho-Corasick automaton，該算法在1975年產(chǎn)生于貝爾實(shí)驗(yàn)室，是著名的多模匹配算法。
要學(xué)會(huì)AC自動(dòng)機(jī)，我們必須知道什么是Trie，也就是字典樹(shù)。Trie樹(shù)，又稱(chēng)單詞查找樹(shù)或鍵樹(shù)，是一種樹(shù)形結(jié)構(gòu)，是一種哈希樹(shù)的變種。典型應(yīng)用是用于統(tǒng)計(jì)和排序大量的字符串（但不僅限于字符串），所以經(jīng)常被搜索引擎系統(tǒng)用于文本詞頻統(tǒng)計(jì)。

后綴數(shù)組

在計(jì)算機(jī)科學(xué)里, 后綴數(shù)組（英語(yǔ)：suffix array）是一個(gè)通過(guò)對(duì)字符串的所有后綴經(jīng)過(guò)排序后得到的數(shù)組。此數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)被運(yùn)用于全文索引、數(shù)據(jù)壓縮算法、以及生物信息學(xué)。
后綴數(shù)組被烏迪·曼伯爾與尤金·邁爾斯于1990年提出，作為對(duì)后綴樹(shù)的一種替代，更簡(jiǎn)單以及節(jié)省空間。它們也被Gaston Gonnet 于1987年獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，并命名為“PAT數(shù)組”。

后綴樹(shù)

后綴樹(shù)（Suffix tree）是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，能快速解決很多關(guān)于字符串的問(wèn)題。后綴樹(shù)的概念最早由Weiner于1973年提出，既而由McCreight在1976年和Ukkonen在1992年和1995年加以改進(jìn)完善。
一個(gè)string S的后綴樹(shù)是一個(gè)邊（edge）被標(biāo)記為字符串的樹(shù)。因此每一個(gè)S的后綴都唯一對(duì)應(yīng)一條從根節(jié)點(diǎn)到葉節(jié)點(diǎn)的路徑。這樣就形成了一個(gè)S的后綴的基數(shù)樹(shù)（radix tree）。后綴樹(shù)是前綴樹(shù)（trie）里的一個(gè)特殊類(lèi)型。

后綴自動(dòng)機(jī)

首先，后綴自動(dòng)機(jī)是一種有限狀態(tài)自動(dòng)機(jī)，他可以識(shí)別且僅識(shí)別一個(gè)字符串的后綴。但是這不并不是后綴自動(dòng)機(jī)強(qiáng)大的地方，我可以說(shuō)如果把AC自動(dòng)機(jī)反向插入我同樣可以做到這一點(diǎn)。

后綴自動(dòng)機(jī)真正的用處在于：它可以識(shí)別一個(gè)串的所有子串。

非常優(yōu)秀的是后綴自動(dòng)機(jī)只會(huì)有O(n)個(gè)節(jié)點(diǎn)，也就是說(shuō)在字符集看做常數(shù)的情況下，對(duì)于后綴自動(dòng)機(jī)的構(gòu)建可以做到O(n)。

后綴自動(dòng)機(jī)不同于AC自動(dòng)機(jī)的地方在于：它并不是一棵樹(shù)，不看prarent鏈的話，后綴自動(dòng)機(jī)是一張DAG，這就讓后綴自動(dòng)機(jī)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的意義玄妙了起來(lái)。

字典樹(shù)Trie

又稱(chēng)單詞查找樹(shù)，Trie樹(shù)，是一種樹(shù)形結(jié)構(gòu)，是一種哈希樹(shù)的變種。典型應(yīng)用是用于統(tǒng)計(jì)，排序和保存大量的字符串（但不僅限于字符串），所以經(jīng)常被搜索引擎系統(tǒng)用于文本詞頻統(tǒng)計(jì)。它的優(yōu)點(diǎn)是：利用字符串的公共前綴來(lái)減少查詢時(shí)間，最大限度地減少無(wú)謂的字符串比較，查詢效率比哈希樹(shù)高。

Manacher

馬拉車(chē)算法 Manacher‘s Algorithm 是用來(lái)查找一個(gè)字符串的最長(zhǎng)回文子串的線性方法，由一個(gè)叫Manacher的人在1975年發(fā)明的，這個(gè)方法的最大貢獻(xiàn)是在于將時(shí)間復(fù)雜度提升到了線性。

6、圖論相關(guān)

最小生成樹(shù)

一個(gè)有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通圖的生成樹(shù)是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)，并且有保持圖連通的最少的邊。 [1] 最小生成樹(shù)可以用kruskal（克魯斯卡爾）算法或prim（普里姆）算法求出。

Prim

普里姆算法（Prim算法），圖論中的一種算法，可在加權(quán)連通圖里搜索最小生成樹(shù)。意即由此算法搜索到的邊子集所構(gòu)成的樹(shù)中，不但包括了連通圖里的所有頂點(diǎn)（英語(yǔ)：Vertex (graph theory)），且其所有邊的權(quán)值之和亦為最小。該算法于1930年由捷克數(shù)學(xué)家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語(yǔ)：Vojtěch Jarník）發(fā)現(xiàn)；并在1957年由美國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)家羅伯特·普里姆（英語(yǔ)：Robert C. Prim）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發(fā)現(xiàn)了該算法。因此，在某些場(chǎng)合，普里姆算法又被稱(chēng)為DJP算法、亞爾尼克算法或普里姆－亞爾尼克算法。

Kruskal

克魯斯卡爾算法是求連通網(wǎng)的最小生成樹(shù)的另一種方法。與普里姆算法不同，它的時(shí)間復(fù)雜度為O（eloge）（e為網(wǎng)中的邊數(shù)），所以，適合于求邊稀疏的網(wǎng)的最小生成樹(shù) [1] 。

最短路、次短路、K短路

Spfa

SPFA 算法是 Bellman-Ford算法 的隊(duì)列優(yōu)化算法的別稱(chēng)，通常用于求含負(fù)權(quán)邊的單源最短路徑，以及判負(fù)權(quán)環(huán)。SPFA 最壞情況下復(fù)雜度和樸素 Bellman-Ford 相同，為 O(VE)。

Dijkstra

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷蘭計(jì)算機(jī)科學(xué)家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是從一個(gè)頂點(diǎn)到其余各頂點(diǎn)的最短路徑算法，解決的是有權(quán)圖中最短路徑問(wèn)題。迪杰斯特拉算法主要特點(diǎn)是從起始點(diǎn)開(kāi)始，采用貪心算法的策略，每次遍歷到始點(diǎn)距離最近且未訪問(wèn)過(guò)的頂點(diǎn)的鄰接節(jié)點(diǎn)，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止。 [1]

Floyd

Floyd算法又稱(chēng)為插點(diǎn)法，是一種利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想尋找給定的加權(quán)圖中多源點(diǎn)之間最短路徑的算法，與Dijkstra算法類(lèi)似。該算法名稱(chēng)以創(chuàng)始人之一、1978年圖靈獎(jiǎng)獲得者、斯坦福大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授羅伯特·弗洛伊德命名。 [1]

圖的聯(lián)通

連通分量

無(wú)向圖G的極大連通子圖稱(chēng)為G的連通分量( Connected Component)。任何連通圖的連通分量只有一個(gè)，即是其自身，非連通的無(wú)向圖有多個(gè)連通分量。

割點(diǎn)、割邊

在一個(gè)無(wú)向圖中，如果有一個(gè)頂點(diǎn)集合，刪除這個(gè)頂點(diǎn)集合以及這個(gè)集合中所有頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊以后，圖的連通分量增多，就稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)集為割點(diǎn)集合。
如果某個(gè)割點(diǎn)集合只含有一個(gè)頂點(diǎn)X（也即{X}是一個(gè)割點(diǎn)集合），那么X稱(chēng)為一個(gè)割點(diǎn)。

假設(shè)有連通圖G，e是其中一條邊，如果G-e是不連通的，則邊e是圖G的一條割邊。此情形下，G-e必包含兩個(gè)連通分支。

網(wǎng)絡(luò)流

網(wǎng)絡(luò)流(network-flows)是一種類(lèi)比水流的解決問(wèn)題方法，與線性規(guī)劃密切相關(guān)。網(wǎng)絡(luò)流的理論和應(yīng)用在不斷發(fā)展，出現(xiàn)了具有增益的流、多終端流、多商品流以及網(wǎng)絡(luò)流的分解與合成等新課題。網(wǎng)絡(luò)流的應(yīng)用已遍及通訊、運(yùn)輸、電力、工程規(guī)劃、任務(wù)分派、設(shè)備更新以及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域。

最大流

管道網(wǎng)絡(luò)中每條邊的最大通過(guò)能力（容量）是有限的，實(shí)際流量不超過(guò)容量。
最大流問(wèn)題(maximum flow problem)，一種組合最優(yōu)化問(wèn)題，就是要討論如何充分利用裝置的能力，使得運(yùn)輸?shù)牧髁孔畲?#xff0c;以取得最好的效果。求最大流的標(biāo)號(hào)算法最早由福特和福克遜于1956年提出，20世紀(jì)50年代福特(Ford)、福克遜(Fulkerson)建立的“網(wǎng)絡(luò)流理論”，是網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的重要組成成分。

最小割

最小割，圖中所有的割中，邊權(quán)值和最小的割為最小割。

費(fèi)用流

最小費(fèi)用流問(wèn)題是一種組合最優(yōu)化問(wèn)題，也是網(wǎng)絡(luò)流理論研究的一個(gè)重要問(wèn)題。

分?jǐn)?shù)規(guī)劃

樹(shù)相關(guān)

樹(shù)上倍增、公共祖先

LCA（least common ancestors）最近公共祖先
指的就是對(duì)于一棵有根樹(shù)，若結(jié)點(diǎn)z既是x的祖先，也是y的祖先，那么z就是結(jié)點(diǎn)x和y的最近公共祖先。

對(duì)于有根樹(shù)T的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一個(gè)結(jié)點(diǎn)x，滿足x是u和v的祖先且x的深度盡可能大。在這里，一個(gè)節(jié)點(diǎn)也可以是它自己的祖先。

樹(shù)鏈剖分

樹(shù)鏈剖分，計(jì)算機(jī)術(shù)語(yǔ)，指一種對(duì)樹(shù)進(jìn)行劃分的算法，它先通過(guò)輕重邊剖分將樹(shù)分為多條鏈，保證每個(gè)點(diǎn)屬于且只屬于一條鏈，然后再通過(guò)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（樹(shù)狀數(shù)組、BST、SPLAY、線段樹(shù)等）來(lái)維護(hù)每一條鏈。

樹(shù)的分治算法（點(diǎn)分治、邊分治、動(dòng)態(tài)樹(shù)分治）

點(diǎn)分治，顧名思義就是基于樹(shù)上的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分治。
如果我們?cè)谏钊胍稽c(diǎn)呢？對(duì)于點(diǎn)的拆開(kāi)其實(shí)就是對(duì)于樹(shù)的拆開(kāi)。
所以我認(rèn)為點(diǎn)分治的本質(zhì)其實(shí)是將一棵樹(shù)拆分成許多棵子樹(shù)處理，并不斷進(jìn)行。
這應(yīng)該也是點(diǎn)分治的精髓。
邊分治的分治過(guò)程與點(diǎn)分治類(lèi)似，同樣每次分治時(shí)找到一條分治中心邊使這條邊兩端的兩個(gè)聯(lián)通塊中較大的一個(gè)盡量小。以分治中心邊為界限，恰好將當(dāng)前分治的聯(lián)通塊中的點(diǎn)分成了兩部分，統(tǒng)計(jì)路徑經(jīng)過(guò)分治中心邊的答案，然后將分治中心邊斷開(kāi)，遞歸分治中心邊兩端的兩個(gè)聯(lián)通塊。
動(dòng)態(tài)樹(shù)分治，顧名思義，解決待修改的樹(shù)分治問(wèn)題。原本的樹(shù)分治基于邊或者重心的分治可以解決大多數(shù)靜態(tài)樹(shù)鏈問(wèn)題，但是待修改怎么辦？其實(shí)很簡(jiǎn)單，因?yàn)闃?shù)結(jié)構(gòu)是不變的，就是樹(shù)分治的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)不變，對(duì)于修改和詢問(wèn)，只需要在第一次樹(shù)分治的基礎(chǔ)上用一些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)維護(hù)一些信息即可。

動(dòng)態(tài)樹(shù)（LCT、樹(shù)分塊）

動(dòng)態(tài)樹(shù)問(wèn)題 ，是一類(lèi)要求維護(hù)一個(gè)有根樹(shù)森林，支持對(duì)樹(shù)的分割, 合并等操作的問(wèn)題。由RobertE.Tarjan為首的科學(xué)家們提出解決算法Link-Cut Trees，簡(jiǎn)稱(chēng)LCT。

虛樹(shù)

虛樹(shù)，是對(duì)于一棵給定的節(jié)點(diǎn)數(shù)為 n 的樹(shù) T，構(gòu)造一棵新的樹(shù) T’ 使得總結(jié)點(diǎn)數(shù)最小且包含指定的某幾個(gè)節(jié)點(diǎn)和他們的LCA。

prufer編碼

prufer是無(wú)根樹(shù)的一種編碼方式，一棵無(wú)根樹(shù)和一個(gè)prufer編碼唯一對(duì)應(yīng)，也就是一棵樹(shù)有唯一的prufer編碼，而一個(gè)prufer編碼對(duì)應(yīng)一棵唯一的樹(shù)。

拓?fù)渑判?/h2>

對(duì)一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖(Directed Acyclic Graph簡(jiǎn)稱(chēng)DAG)G進(jìn)行拓?fù)渑判?#xff0c;是將G中所有頂點(diǎn)排成一個(gè)線性序列，使得圖中任意一對(duì)頂點(diǎn)u和v，若邊<u,v>∈E(G)，則u在線性序列中出現(xiàn)在v之前。通常，這樣的線性序列稱(chēng)為滿足拓?fù)浯涡?Topological Order)的序列，簡(jiǎn)稱(chēng)拓?fù)湫蛄小：?jiǎn)單的說(shuō)，由某個(gè)集合上的一個(gè)偏序得到該集合上的一個(gè)全序，這個(gè)操作稱(chēng)之為拓?fù)渑判颉?[1]

歐拉圖

歐拉圖是指通過(guò)圖（無(wú)向圖或有向圖）中所有邊且每邊僅通過(guò)一次通路，相應(yīng)的回路稱(chēng)為歐拉回路。具有歐拉回路的圖稱(chēng)為歐拉圖（Euler Graph），具有歐拉通路而無(wú)歐拉回路的圖稱(chēng)為半歐拉圖。對(duì)歐拉圖的一個(gè)現(xiàn)代擴(kuò)展是蜘蛛圖，它向歐拉圖增加了可以連接的存在點(diǎn)。這給予歐拉圖析取特征。歐拉圖已經(jīng)有了合取特征(就是說(shuō)區(qū)定義了有著與起來(lái)的那些性質(zhì)的對(duì)象在區(qū)中的存在)。所以蜘蛛圖允許使用歐拉圖建模邏輯或的條件。

二分圖

二分圖又稱(chēng)作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設(shè)G=(V,E)是一個(gè)無(wú)向圖，如果頂點(diǎn)V可分割為兩個(gè)互不相交的子集(A,B)，并且圖中的每條邊（i，j）所關(guān)聯(lián)的兩個(gè)頂點(diǎn)i和j分別屬于這兩個(gè)不同的頂點(diǎn)集(i in A,j in B)，則稱(chēng)圖G為一個(gè)二分圖。

KM算法

KM算法用來(lái)求二分圖最大權(quán)完美匹配。

匈牙利算法

匈牙利算法是一種在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解任務(wù)分配問(wèn)題的組合優(yōu)化算法，并推動(dòng)了后來(lái)的原始對(duì)偶方法。1955年，庫(kù)恩(W.W.Kuhn)利用匈牙利數(shù)學(xué)家康尼格(D.K?nig)的一個(gè)定理構(gòu)造了這個(gè)解法，故稱(chēng)為匈牙利法。 [2]

仙人掌算法

仙人掌圖：每條邊至多在一個(gè)環(huán)上的圖。
仙人掌圖中每個(gè)環(huán)相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)雙連通分量，那么用Tarjan算法處理dfs樹(shù)。

7、數(shù)學(xué)相關(guān)

（擴(kuò)展）歐幾里得算法、篩法、快速冪

擴(kuò)展歐幾里得算法是歐幾里得算法（又叫輾轉(zhuǎn)相除法）的擴(kuò)展。除了計(jì)算a、b兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)，此算法還能找到整數(shù)x、y（其中一個(gè)很可能是負(fù)數(shù)）。通常談到最大公因子時(shí), 我們都會(huì)提到一個(gè)非常基本的事實(shí): 給予二整數(shù) a 與 b, 必存在有整數(shù) x 與 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有兩個(gè)數(shù)a,b，對(duì)它們進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除法，可得它們的最大公約數(shù)——這是眾所周知的。然后，收集輾轉(zhuǎn)相除法中產(chǎn)生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整數(shù)解。
篩法（挨拉托色尼篩法）是一種用來(lái)求所有小于N的素?cái)?shù)的方法。把從2（素?cái)?shù)是指大于1的自然數(shù)）開(kāi)始的某一范圍內(nèi)的正整數(shù)從小到大按順序排列，逐步篩掉非素?cái)?shù)留下素?cái)?shù)。
顧名思義，快速冪就是快速算底數(shù)的n次冪。其時(shí)間復(fù)雜度為 O(log?N)， 與樸素的O(N)相比效率有了極大的提高。

斐蜀定理

在數(shù)論中，裴蜀定理是一個(gè)關(guān)于最大公約數(shù)（或最大公約式）的定理，裴蜀定理得名于法國(guó)數(shù)學(xué)家艾蒂安·裴蜀。
裴蜀定理說(shuō)明了對(duì)任何整數(shù) a、b和它們的最大公約數(shù) d ，關(guān)于未知數(shù) x以及 y 的線性的丟番圖方程（稱(chēng)為裴蜀等式）。

更相減損術(shù)

更相減損術(shù)是出自《九章算術(shù)》的一種求最大公約數(shù)的算法，它原本是為約分而設(shè)計(jì)的，但它適用于任何需要求最大公約數(shù)的場(chǎng)合。

歐拉函數(shù)與降冪

在數(shù)論，對(duì)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是小于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目。

把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照某個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列,叫做這一字母的降冪。如ab+(-2ba)+a為a的降冪。

費(fèi)馬小定理

費(fèi)馬小定理 (Fermat’s little theorem) 是數(shù)論中的一個(gè)重要定理，在1636年提出。如果p是一個(gè)質(zhì)數(shù)，而整數(shù)a不是p的倍數(shù)，則有a ^ (p - 1) ≡ 1 (mod p)。[1]

排列組合

Lucas定理

Lucas定理是用來(lái)求 c(n,m) mod p，p為素?cái)?shù)的值。

楊輝三角

楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)。在歐洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。 [1]

乘法逆元

乘法逆元，是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域群G中任意一個(gè)元素a，都在G中有唯一的逆元a‘，具有性質(zhì)a×a’=a’×a=e，其中e為該群的單位元。

矩陣乘法

矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個(gè)矩陣的列數(shù)（column）和第二個(gè)矩陣的行數(shù)（row）相同時(shí)才有意義 [1] 。一般單指矩陣乘積時(shí)，指的便是一般矩陣乘積。一個(gè)m×n的矩陣就是m×n個(gè)數(shù)排成m行n列的一個(gè)數(shù)陣。由于它把許多數(shù)據(jù)緊湊地集中到了一起，所以有時(shí)候可以簡(jiǎn)便地表示一些復(fù)雜的模型，如電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型。 [2]

數(shù)學(xué)期望與概率

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，數(shù)學(xué)期望(mean)（或均值，亦簡(jiǎn)稱(chēng)期望）是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和，是最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機(jī)變量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常識(shí)中的“期望”——“期望值”也許與每一個(gè)結(jié)果都不相等。期望值是該變量輸出值的平均數(shù)。期望值并不一定包含于變量的輸出值集合里。
大數(shù)定律表明，隨著重復(fù)次數(shù)接近無(wú)窮大，數(shù)值的算術(shù)平均值幾乎肯定地收斂于期望值。

博弈論

博弈論，又稱(chēng)為對(duì)策論（Game Theory）、賽局理論等，既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支，也是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科。
博弈論主要研究公式化了的激勵(lì)結(jié)構(gòu)間的相互作用，是研究具有斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法。博弈論考慮游戲中的個(gè)體的預(yù)測(cè)行為和實(shí)際行為，并研究它們的優(yōu)化策略。生物學(xué)家使用博弈理論來(lái)理解和預(yù)測(cè)進(jìn)化論的某些結(jié)果。
博弈論已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)分析工具之一。在金融學(xué)、證券學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、國(guó)際關(guān)系、計(jì)算機(jī)科學(xué)、政治學(xué)、軍事戰(zhàn)略和其他很多學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。

Sg函數(shù)

給定一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖和一個(gè)起始頂點(diǎn)上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進(jìn)行移動(dòng)，無(wú)法移 動(dòng)者判負(fù)。事實(shí)上，這個(gè)游戲可以認(rèn)為是所有公平組合游戲的抽象模型。

樹(shù)上刪邊游戲

在某一棵樹(shù)上刪除一條邊，同時(shí)刪去所有在刪除后不再與根相連的部分
雙方輪流操作，無(wú)法再進(jìn)行刪除者判定為失敗
一個(gè)游戲中有多棵樹(shù)，我們把ta們的根都放在地板上，方便之后的處理

在此，我們討論的將是公平游戲，即雙方都可以刪除任意的樹(shù)邊
我們稱(chēng)這個(gè)游戲?yàn)?#xff1a;Green Hachenbush（樹(shù)上公平刪邊游戲）

之所以強(qiáng)調(diào)是公平博弈，是因?yàn)檫€有另一種刪邊游戲，是不公平的，參與者雙方一方只能刪除藍(lán)邊，一方只能刪除紅邊，而綠邊雙方都可以刪除

拉格朗日乘子法

在數(shù)學(xué)最優(yōu)問(wèn)題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。 [1] 此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

中國(guó)剩余定理

孫子定理是中國(guó)古代求解一次同余式組（見(jiàn)同余）的方法。是數(shù)論中一個(gè)重要定理。又稱(chēng)中國(guó)余數(shù)定理。一元線性同余方程組問(wèn)題最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期（公元5世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：
有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何？即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)。《孫子算經(jīng)》中首次提到了同余方程組問(wèn)題，以及以上具體問(wèn)題的解法，因此在中文數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中也會(huì)將中國(guó)剩余定理稱(chēng)為孫子定理。

線性規(guī)劃與網(wǎng)絡(luò)流

線性規(guī)劃（Linear programming,簡(jiǎn)稱(chēng)LP），是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)理論和方法。英文縮寫(xiě)LP。
線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，廣泛應(yīng)用于軍事作戰(zhàn)、經(jīng)濟(jì)分析、經(jīng)營(yíng)管理和工程技術(shù)等方面。為合理地利用有限的人力、物力、財(cái)力等資源作出的最優(yōu)決策，提供科學(xué)的依據(jù)。

辛普森積分

辛普森積分法是一種用拋物線近似函數(shù)曲線來(lái)求定積分?jǐn)?shù)值解的方法。把積分區(qū)間等分成若干段，對(duì)被積函數(shù)在每一段上使用辛普森公式，根據(jù)其在每一段的兩端和中點(diǎn)處的值近似為拋物線，逐段積分后加起來(lái)，即得到原定積分的數(shù)值解。辛普森積分法比梯形法則更精確，二者都是牛頓-柯特斯公式（Newton-Cotes）的特例。

模擬線性方程組

這個(gè)問(wèn)題的源自《孫子算經(jīng)》，其中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”按照今天的話來(lái)說(shuō)：一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù).這樣的問(wèn)題，也有人稱(chēng)為“韓信點(diǎn)兵”.它形成了一類(lèi)問(wèn)題，也就是初等數(shù)論中解同余式.這類(lèi)問(wèn)題的有解條件和解的方法被稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”，這是由中國(guó)人首先提出的。

容斥原理與莫比烏斯反演

在計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意沒(méi)有重復(fù)，沒(méi)有遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱(chēng)為容斥原理。 [1]

莫比烏斯反演是數(shù)論數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，可以用于解決很多組合數(shù)學(xué)的問(wèn)題。

快速傅立葉變換

快速傅里葉變換 (fast Fourier transform), 即利用計(jì)算機(jī)計(jì)算離散傅里葉變換（DFT)的高效、快速計(jì)算方法的統(tǒng)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)FFT。快速傅里葉變換是1965年由J.W.庫(kù)利和T.W.圖基提出的。采用這種算法能使計(jì)算機(jī)計(jì)算離散傅里葉變換所需要的乘法次數(shù)大為減少，特別是被變換的抽樣點(diǎn)數(shù)N越多，FFT算法計(jì)算量的節(jié)省就越顯著。

大步小步BSGS法（擴(kuò)展）

計(jì)算(y^x ≡ z mod p) 中 (x) 的解。

高斯消元

數(shù)學(xué)上，高斯消元法（或譯：高斯消去法），是線性代數(shù)規(guī)劃中的一個(gè)算法，可用來(lái)為線性方程組求解。但其算法十分復(fù)雜，不常用于加減消元法，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。不過(guò)，如果有過(guò)百萬(wàn)條等式時(shí)，這個(gè)算法會(huì)十分省時(shí)。一些極大的方程組通常會(huì)用迭代法以及花式消元來(lái)解決。當(dāng)用于一個(gè)矩陣時(shí)，高斯消元法會(huì)產(chǎn)生出一個(gè)“行梯陣式”。高斯消元法可以用在電腦中來(lái)解決數(shù)千條等式及未知數(shù)。亦有一些方法特地用來(lái)解決一些有特別排列的系數(shù)的方程組。 [1]

線性篩

在剛接觸編程語(yǔ)言時(shí)，對(duì)于尋找素?cái)?shù)，第一時(shí)間想到的便是二重循環(huán)暴力查找，其復(fù)雜度O(n)，通過(guò)循環(huán)中只判斷到根號(hào)n可以優(yōu)化一些，不過(guò)復(fù)雜度也達(dá)不到預(yù)期。在數(shù)論的學(xué)習(xí)中，我學(xué)到了埃氏篩法，O(nloglogn)的算法，而在一些數(shù)據(jù)范圍達(dá)到1e7這樣的題目中，也很難讓人滿意，于是我便學(xué)習(xí)了歐拉篩法，也即 O(n)的線性篩法。

Min25篩與杜教篩

考慮一個(gè)積性函數(shù)F(x)，用來(lái)快速計(jì)算前綴和
∑i=1nF(i)
當(dāng)然，這個(gè)積性函數(shù)要滿足F(x),x∈Prime可以用多項(xiàng)式表示
同時(shí)，F(xk),x∈Prime要能夠快速計(jì)算答案
杜教篩是用來(lái)求一類(lèi)積性函數(shù)的前綴和
它通過(guò)各種轉(zhuǎn)化，最終利用數(shù)論分塊的思想來(lái)降低復(fù)雜度
假設(shè)我們現(xiàn)在要求S(n)=∑ni=1f(i)，f(i)為積性函數(shù),n?1012
直接求肯定是不好求的，不過(guò)現(xiàn)在假設(shè)有另一個(gè)積性函數(shù)g
我們來(lái)求它們狄利克雷卷積的前綴和

∑i=1n(g?f)=∑i=1n∑d∣ig(d)f(id)

=∑d=1ng(d)∑d|if(id)

=∑d=1ng(d)∑i=1ndf(i)

=∑d=1ng(d)S(nd)

然后就化不動(dòng)了，不過(guò)我們發(fā)現(xiàn)我們化出了nd！
但是S(n)怎么求呢？

容斥一下

g(1)S(n)=∑d=1ng(d)S(nd)?∑d=2ng(d)S(nd)

前半部分是狄利克雷卷積的前綴和的形式
后半部分可以數(shù)論分塊。這樣看起來(lái)就好搞多了
現(xiàn)在我們的問(wèn)題是，如何選擇g才能使得上面這個(gè)式子好算
這個(gè)就要因情況而定了

母函數(shù)

生成函數(shù)即母函數(shù)，是組合數(shù)學(xué)中尤其是計(jì)數(shù)方面的一個(gè)重要理論和工具。生成函數(shù)有普通型生成函數(shù)和指數(shù)型生成函數(shù)兩種，其中普通型用的比較多。形式上說(shuō)，普通型生成函數(shù)用于解決多重集的組合問(wèn)題，而指數(shù)型母函數(shù)用于解決多重集的排列問(wèn)題。母函數(shù)還可以解決遞歸數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題（例如使用母函數(shù)解決斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式）。

Burnside引理與Polya計(jì)數(shù)

伯恩賽德引理（Burnside’s lemma），也叫伯恩賽德計(jì)數(shù)定理（Burnside’s counting theorem），柯西-弗羅貝尼烏斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或軌道計(jì)數(shù)定理（orbit-counting theorem），是群論中一個(gè)結(jié)果，在考慮對(duì)稱(chēng)的計(jì)數(shù)中經(jīng)常很有用。該結(jié)論被冠以多個(gè)人的名字，其中包括威廉·伯恩賽德（William Burnside）、波利亞、柯西和弗羅貝尼烏斯。這個(gè)命題不屬于伯恩賽德自己，他只是在自己的書(shū)中《有限群論 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而將其歸于弗羅貝尼烏斯 (1887)。

Burnside定理之所以能夠計(jì)數(shù)不等價(jià)著色數(shù)，與它能夠計(jì)算C(f)有關(guān)，而C中的原色不變是f保持的，通過(guò)考慮置換的循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算可變得容易簡(jiǎn)便。

Miller-Robin素?cái)?shù)檢測(cè)

快速概率測(cè)素?cái)?shù)的算法------MillerRobin（），適用于測(cè)試單個(gè)素?cái)?shù)，出錯(cuò)概率比計(jì)算機(jī)本身出錯(cuò)的概率還要低

為（1/4）^(s)，一般s取50就可以認(rèn)為是準(zhǔn)確測(cè)試出了。

算法是基于費(fèi)馬小定理（format），二次探測(cè)定理 x*x % p == 1 ，若P為素?cái)?shù)，則x的解只能是x = 1或者x = p - 1）加上迭代乘法判斷的Miller算法

Pollard大數(shù)分解

Pollard_rho算法的大致流程是 先判斷當(dāng)前數(shù)是否是素?cái)?shù)（Miller_rabin）了，如果是則直接返回。如果不是素?cái)?shù)的話，試圖找到當(dāng)前數(shù)的一個(gè)因子（可以不是質(zhì)因子）。然后遞歸對(duì)該因子和約去這個(gè)因子的另一個(gè)因子進(jìn)行分解。

8、動(dòng)態(tài)規(guī)劃

基礎(chǔ)形式（記憶化搜索、斯坦納樹(shù)、背包九講）

背包dp

背包問(wèn)題(Knapsack problem)是一種組合優(yōu)化的NP完全問(wèn)題。問(wèn)題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和價(jià)格，在限定的總重量?jī)?nèi)，我們?nèi)绾芜x擇，才能使得物品的總價(jià)格最高。問(wèn)題的名稱(chēng)來(lái)源于如何選擇最合適的物品放置于給定背包中。相似問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在商業(yè)、組合數(shù)學(xué)，計(jì)算復(fù)雜性理論、密碼學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中。也可以將背包問(wèn)題描述為決定性問(wèn)題，即在總重量不超過(guò)W的前提下，總價(jià)值是否能達(dá)到V？它是在1978年由Merkle和Hellman提出的。
背包問(wèn)題已經(jīng)研究了一個(gè)多世紀(jì)，早期的作品可追溯到1897年 [1] 數(shù)學(xué)家托比亞斯·丹齊格（Tobias Dantzig，1884-1956）的早期作品 [2] ，并指的是包裝你最有價(jià)值或有用的物品而不會(huì)超載你的行李的常見(jiàn)問(wèn)題。

線性dp

線性DP是動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題中的一類(lèi)問(wèn)題，指狀態(tài)之間有線性關(guān)系的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。

區(qū)間dp

區(qū)間dp就是在一段區(qū)間上進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃。對(duì)于每段區(qū)間，他們的最優(yōu)值都是由幾段更小區(qū)間的最優(yōu)值得到，是分治思想的一種應(yīng)用，將一個(gè)區(qū)間問(wèn)題不斷劃分為更小的區(qū)間直至一個(gè)元素組成的區(qū)間，枚舉他們的組合 ，求合并后的最優(yōu)值。

狀壓dp

狀態(tài)壓縮動(dòng)態(tài)規(guī)劃，就是我們俗稱(chēng)的狀壓DP，是利用計(jì)算機(jī)二進(jìn)制的性質(zhì)來(lái)描述狀態(tài)的一種DP方式。

環(huán)形dp

其實(shí)環(huán)形動(dòng)態(tài)規(guī)劃也是區(qū)間型，只不過(guò)區(qū)間首尾相接
此時(shí)使用記憶化搜索實(shí)現(xiàn)，其實(shí)是不容易的
典型例題是能量項(xiàng)鏈

樹(shù)形dp

樹(shù)型動(dòng)態(tài)規(guī)劃就是在“樹(shù)”的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的動(dòng)態(tài)規(guī)劃

數(shù)位dp

數(shù)位dp是一種計(jì)數(shù)用的dp，一般就是要統(tǒng)計(jì)一個(gè)區(qū)間[le,ri]內(nèi)滿足一些條件數(shù)的個(gè)數(shù)。所謂數(shù)位dp，字面意思就是在數(shù)位上進(jìn)行dp咯。數(shù)位還算是比較好聽(tīng)的名字，數(shù)位的含義：一個(gè)數(shù)有個(gè)位、十位、百位、千位…數(shù)的每一位就是數(shù)位啦！

倍增dp

對(duì)于只考慮首位狀態(tài)的DP，考慮用倍增優(yōu)化

插頭dp

基于聯(lián)通性的狀態(tài)壓縮動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一類(lèi)很典型的狀態(tài)壓縮動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，因?yàn)槠鋲嚎s的本質(zhì)并不像是普通的狀態(tài)壓縮動(dòng)態(tài)規(guī)劃那樣用0或者1來(lái)表示未使用、使用兩種狀態(tài)，而是使用數(shù)字來(lái)表示類(lèi)似插頭的狀態(tài)，因此，它又被稱(chēng)作插頭DP。

插頭DP本質(zhì)上是一類(lèi)狀態(tài)壓縮DP，因此，依然避免不了其指數(shù)級(jí)別的算法復(fù)雜度，即便如此，它依然要比普通的搜索算法快很多。

斜率優(yōu)化與四邊形不等式優(yōu)化

我們知道，有些DP方程可以轉(zhuǎn)化成DP[i]=f[j]+x[i]的形式，其中f[j]中保存了只與j相關(guān)的量。這樣的DP方程我們可以用單調(diào)隊(duì)列進(jìn)行優(yōu)化，從而使得O(n^2)的復(fù)雜度降到O(n)。

四邊形不等式是一種比較常見(jiàn)的優(yōu)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法

環(huán)+外向樹(shù)上的dp

想一想也知道，只要有一個(gè)人討厭另外一個(gè)人，這兩個(gè)人最后是不會(huì)在一起的。
n個(gè)人n條邊（圖不保證聯(lián)通），這就是一個(gè)環(huán)加外向樹(shù)森林
不能同時(shí)取一條邊上的兩個(gè)人，用DP來(lái)實(shí)現(xiàn)

9、計(jì)算幾何

計(jì)算幾何基礎(chǔ)

三位計(jì)算幾何初步

數(shù)學(xué)上，立體幾何(Solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統(tǒng)名稱(chēng)—- 因?yàn)閷?shí)際上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的后續(xù)課程。立體測(cè)繪(Stereometry)處理不同形體的體積的測(cè)量問(wèn)題：圓柱，圓錐， 錐臺(tái)， 球，棱柱， 楔， 瓶蓋等等。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就處理過(guò)球和正多面體，但是棱錐，棱柱，圓錐和圓柱在柏拉圖學(xué)派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測(cè)量法，證明錐是等底等高的柱體積的三分之一，可能也是第一個(gè)證明球體積和其半徑的立方成正比的。

梯形剖分與三角形剖分

傳說(shuō)把一個(gè)多邊形按照順時(shí)針(或者逆時(shí)針)旋轉(zhuǎn)，相鄰兩個(gè)點(diǎn)分別作x軸的垂線(并且這兩個(gè)點(diǎn)相連)，就構(gòu)成了梯形，然后定義從點(diǎn)在x軸方向上左到右為正(或者為負(fù))，得到n個(gè)梯形，把面積加起來(lái)就構(gòu)成了多邊形面積，這種剖分就是梯形剖分。

三角剖分是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)里最基本的研究方法。 以曲面為例， 我們把曲面剖開(kāi)成一塊塊碎片，要求滿足下面條件： （1）每塊碎片都是曲邊三角形； （2）曲面上任何兩個(gè)這樣的曲邊三角形，要么不相交，要么恰好相交于一條公共邊（不能同時(shí)交兩條或兩條以上的邊)。 [1]

凸包

凸包（Convex Hull）是一個(gè)計(jì)算幾何（圖形學(xué)）中的概念。
在一個(gè)實(shí)數(shù)向量空間V中，對(duì)于給定集合X，所有包含X的凸集的交集S被稱(chēng)為X的凸包。X的凸包可以用X內(nèi)所有點(diǎn)(X1，…Xn)的凸組合來(lái)構(gòu)造.
在二維歐幾里得空間中，凸包可想象為一條剛好包著所有點(diǎn)的橡皮圈。
用不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑拋?lái)講，給定二維平面上的點(diǎn)集，凸包就是將最外層的點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)成的凸多邊形，它能包含點(diǎn)集中所有的點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)卡殼

”旋轉(zhuǎn)卡殼“是很形象的說(shuō)法，因?yàn)楦鶕?jù)我們枚舉的邊，可以從每個(gè)維護(hù)的點(diǎn)畫(huà)出一條或平行或垂直的直線，為了確保對(duì)于當(dāng)前枚舉的邊的最優(yōu)性，我們的任務(wù)就是使這些直線能將凸包正好卡住。

半平面交

半平面：平面上的直線及其一側(cè)的部分。

pick定理

皮克定理是指一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的多邊形面積公式，該公式可以表示為S=a+b÷2－1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，b表示多邊形落在格點(diǎn)邊界上的點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積。

掃描線

掃描線一般運(yùn)用在圖形上面，它和它的字面意思十分相似，就是一條線在整個(gè)圖上掃來(lái)掃去，它一般被用來(lái)解決圖形面積，周長(zhǎng)等問(wèn)題。

10、搜索相關(guān)

dfs、bfs

深度優(yōu)先搜索是一種在開(kāi)發(fā)爬蟲(chóng)早期使用較多的方法。它的目的是要達(dá)到被搜索結(jié)構(gòu)的葉結(jié)點(diǎn)(即那些不包含任何超鏈的HTML文件) 。在一個(gè)HTML文件中，當(dāng)一個(gè)超鏈被選擇后，被鏈接的HTML文件將執(zhí)行深度優(yōu)先搜索，即在搜索其余的超鏈結(jié)果之前必須先完整地搜索單獨(dú)的一條鏈。深度優(yōu)先搜索沿著HTML文件上的超鏈走到不能再深入為止，然后返回到某一個(gè)HTML文件，再繼續(xù)選擇該HTML文件中的其他超鏈。當(dāng)不再有其他超鏈可選擇時(shí)，說(shuō)明搜索已經(jīng)結(jié)束。 [1]

寬度優(yōu)先搜索算法（又稱(chēng)廣度優(yōu)先搜索）是最簡(jiǎn)便的圖的搜索算法之一，這一算法也是很多重要的圖的算法的原型。Dijkstra單源最短路徑算法和Prim最小生成樹(shù)算法都采用了和寬度優(yōu)先搜索類(lèi)似的思想。其別名又叫BFS，屬于一種盲目搜尋法，目的是系統(tǒng)地展開(kāi)并檢查圖中的所有節(jié)點(diǎn)，以找尋結(jié)果。換句話說(shuō)，它并不考慮結(jié)果的可能位置，徹底地搜索整張圖，直到找到結(jié)果為止。

A*算法

A算法，A（A-Star)算法是一種靜態(tài)路網(wǎng)中求解最短路徑最有效的直接搜索方法，也是解決許多搜索問(wèn)題的有效算法。算法中的距離估算值與實(shí)際值越接近，最終搜索速度越快。

迭代加深搜索（IDA*）、雙向廣搜

IDA算法不是基于迭代加深的A算法。
迭代加深只有在狀態(tài)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)時(shí)才有較好的效果，而A就是為了防止?fàn)顟B(tài)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的。
IDA算法其實(shí)是同時(shí)運(yùn)用迭代加深與全局最優(yōu)性剪枝。
IDA算法發(fā)明出來(lái)后，可以應(yīng)用在生活的各個(gè)方面，小到你看電腦的屏幕節(jié)能，大到LED燈都采用了此算法，加進(jìn)了LED燈的研發(fā)，舉個(gè)例子，計(jì)算機(jī)的節(jié)能，使用了IDA算法根據(jù)光亮調(diào)整亮度，可以減少藍(lán)光輻射以保護(hù)長(zhǎng)時(shí)間盯著電腦的人們，保護(hù)了諸如程序員，OIer等等。

所謂雙向搜索指的是搜索沿兩個(gè)方向同時(shí)進(jìn)行：正向搜索：從初始結(jié)點(diǎn)向目標(biāo)結(jié)點(diǎn)方向搜索；逆向搜索：從目標(biāo)結(jié)點(diǎn)向初始結(jié)點(diǎn)方向搜索；當(dāng)兩個(gè)方向的搜索生成同一子結(jié)點(diǎn)時(shí)終止此搜索過(guò)程。

11、特殊算法

莫隊(duì)算法、樹(shù)上莫隊(duì)

莫隊(duì)算法的思路是，離線情況下對(duì)所有的詢問(wèn)進(jìn)行一個(gè)美妙的SORT ()，然后兩個(gè)指針l,r（本題是兩個(gè)，其他的題可能會(huì)更多）不斷以看似暴力的方式在區(qū)間內(nèi)跳來(lái)跳去，最終輸出答案。 掌握一個(gè)思想基礎(chǔ)：兩個(gè)詢問(wèn)之間的狀態(tài)跳轉(zhuǎn)。

樹(shù)上莫隊(duì)，顧名思義就是把莫隊(duì)搬到樹(shù)上。

模擬退火

模擬退火算法來(lái)源于固體退火原理，是一種基于概率的算法，將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時(shí)，固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o(wú)序狀，內(nèi)能增大，而徐徐冷卻時(shí)粒子漸趨有序，在每個(gè)溫度都達(dá)到平衡態(tài)，最后在常溫時(shí)達(dá)到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。

爬山算法

爬山算法是一種局部擇優(yōu)的方法，采用啟發(fā)式方法，是對(duì)深度優(yōu)先搜索的一種改進(jìn)，它利用反饋信息幫助生成解的決策。 屬于人工智能算法的一種。

隨機(jī)增量算法

隨機(jī)增量算法是計(jì)算幾何的一個(gè)重要算法，它對(duì)理論知識(shí)要求不高，算法時(shí)間復(fù)雜度低，應(yīng)用范圍廣大。 增量法 (Incremental Algorithm) 的思想與第一數(shù)學(xué)歸納法類(lèi)似，它的本質(zhì)是將一個(gè)問(wèn)題化為規(guī)模剛好小一層的子問(wèn)題。 解決子問(wèn)題后加入當(dāng)前的對(duì)象。

12、其他重要工具與方法

模擬與貪心

模擬的缺點(diǎn)是運(yùn)算量大，效率低下。往往需要剪枝才能AC。

貪心算法（又稱(chēng)貪婪算法）是指，在對(duì)問(wèn)題求解時(shí)，總是做出在當(dāng)前看來(lái)是最好的選擇。也就是說(shuō)，不從整體最優(yōu)上加以考慮，算法得到的是在某種意義上的局部最優(yōu)解 [1] 。
貪心算法不是對(duì)所有問(wèn)題都能得到整體最優(yōu)解，關(guān)鍵是貪心策略的選擇 [1] 。

二分法、三分法（求偏導(dǎo)）

二分查找也稱(chēng)折半查找（Binary Search），它是一種效率較高的查找方法。但是，折半查找要求線性表必須采用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，而且表中元素按關(guān)鍵字有序排列。 [1]

三分法是二分法的變種，他最基本的用途是求單峰函數(shù)的極值點(diǎn)。

分治、CDQ分治

分治，字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分成兩個(gè)或更多的相同或相似的子問(wèn)題，再把子問(wèn)題分成更小的子問(wèn)題……直到最后子問(wèn)題可以簡(jiǎn)單的直接求解，原問(wèn)題的解即子問(wèn)題的解的合并。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，分治法就是運(yùn)用分治思想的一種很重要的算法。分治法是很多高效算法的基礎(chǔ)，如排序算法（快速排序，歸并排序），傅立葉變換（快速傅立葉變換）等等。

CDQ分治主要思想還是分治的思想，即遞歸處理小范圍信息，之后將處理的信息合并上傳。 一般來(lái)說(shuō)，都是先處理左區(qū)間，之后用左區(qū)間更新右區(qū)間，順便更新答案，然后處理右區(qū)間，之后再將兩個(gè)區(qū)間的信息合并。

高精度

高精度算法（High Accuracy Algorithm）是處理大數(shù)字的數(shù)學(xué)計(jì)算方法。在一般的科學(xué)計(jì)算中，會(huì)經(jīng)常算到小數(shù)點(diǎn)后幾百位或者更多，當(dāng)然也可能是幾千億幾百億的大數(shù)字。一般這類(lèi)數(shù)字我們統(tǒng)稱(chēng)為高精度數(shù)，高精度算法是用計(jì)算機(jī)對(duì)于超大數(shù)據(jù)的一種模擬加，減，乘，除，乘方，階乘，開(kāi)方等運(yùn)算。對(duì)于非常龐大的數(shù)字無(wú)法在計(jì)算機(jī)中正常存儲(chǔ)，于是，將這個(gè)數(shù)字拆開(kāi)，拆成一位一位的，或者是四位四位的存儲(chǔ)到一個(gè)數(shù)組中， 用一個(gè)數(shù)組去表示一個(gè)數(shù)字，這樣這個(gè)數(shù)字就被稱(chēng)為是高精度數(shù)。高精度算法就是能處理高精度數(shù)各種運(yùn)算的算法，但又因其特殊性，故從普通數(shù)的算法中分離，自成一家。

離線

離線算法( off line algorithms)，是指基于在執(zhí)行算法前輸入數(shù)據(jù)已知的基本假設(shè)，也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)離線算法，在開(kāi)始時(shí)就需要知道問(wèn)題的所有輸入數(shù)據(jù)，而且在解決一個(gè)問(wèn)題后就要立即輸出結(jié)果。

ST表

ST表 （Sparse Table， 稀疏表 ）是一種簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，主要用來(lái)解決 RMQ （Range Maximum/Minimum Query，區(qū)間最大/最小值查詢 ）問(wèn)題。 它主要應(yīng)用 倍增 的思想，可以實(shí)現(xiàn) 預(yù)處理、 查詢。

13、STL

map

作為關(guān)聯(lián)式容器的一種，map 容器存儲(chǔ)的都是 pair 對(duì)象，也就是用 pair 類(lèi)模板創(chuàng)建的鍵值對(duì)。其中，各個(gè)鍵值對(duì)的鍵和值可以是任意數(shù)據(jù)類(lèi)型，包括 C++ 基本數(shù)據(jù)類(lèi)型（int、double 等）、使用結(jié)構(gòu)體或類(lèi)自定義的類(lèi)型。

priority_queue

不出所料，priority_queue 容器適配器定義了一個(gè)元素有序排列的隊(duì)列。默認(rèn)隊(duì)列頭部的元素優(yōu)先級(jí)最高。因?yàn)樗且粋€(gè)隊(duì)列，所以只能訪問(wèn)第一個(gè)元素，這也意味著優(yōu)先級(jí)最高的元素總是第一個(gè)被處理。但是如何定義“優(yōu)先級(jí)”完全取決于我們自己。如果一個(gè)優(yōu)先級(jí)隊(duì)列記錄的是醫(yī)院里等待接受急救的病人，那么病人病情的嚴(yán)重性就是優(yōu)先級(jí)。如果隊(duì)列元素是銀行的借貸業(yè)務(wù)，那么借記可能會(huì)優(yōu)先于信貸。

set

C++ STL 之所以得到廣泛的贊譽(yù)，也被很多人使用，不只是提供了像vector, string, list等方便的容器，更重要的是STL封裝了許多復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法和大量常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)操作。vector封裝數(shù)組，list封裝了鏈表，map和set封裝了二叉樹(shù)等，在封裝這些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的時(shí)候，STL按照程序員的使用習(xí)慣，以成員函數(shù)方式提供的常用操作，如：插入、排序、刪除、查找等。讓用戶在STL使用過(guò)程中，并不會(huì)感到陌生。

關(guān)于set，必須說(shuō)明的是set關(guān)聯(lián)式容器。set作為一個(gè)容器也是用來(lái)存儲(chǔ)同一數(shù)據(jù)類(lèi)型的數(shù)據(jù)類(lèi)型，并且能從一個(gè)數(shù)據(jù)集合中取出數(shù)據(jù)，在set中每個(gè)元素的值都唯一，而且系統(tǒng)能根據(jù)元素的值自動(dòng)進(jìn)行排序。應(yīng)該注意的是set中數(shù)元素的值不能直接被改變。C++ STL中標(biāo)準(zhǔn)關(guān)聯(lián)容器set, multiset, map, multimap內(nèi)部采用的就是一種非常高效的平衡檢索二叉樹(shù)：紅黑樹(shù)，也成為RB樹(shù)(Red-Black Tree)。RB樹(shù)的統(tǒng)計(jì)性能要好于一般平衡二叉樹(shù)，所以被STL選擇作為了關(guān)聯(lián)容器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

bitset

bitset 模板類(lèi)由若干個(gè)位（bit）組成，它提供一些成員函數(shù)，使程序員不必通過(guò)位運(yùn)算就能很方便地訪問(wèn)、修改其中的任意一位。

rope

rope 不屬于標(biāo)準(zhǔn) STL，屬于擴(kuò)展 STL，來(lái)自 pb_ds 庫(kù) (Policy-Based Data Structures)。

14、非常見(jiàn)算法

朱劉算法

朱劉算法是一個(gè) O (nm) 的算法。 當(dāng)然，還有Tarjan巨神的 O (n log n) 的算法。

弦圖與區(qū)間圖

定義弦為一個(gè)環(huán)中連接不相鄰兩個(gè)點(diǎn)的邊。
弦圖為一個(gè)圖，其中任意一個(gè)長(zhǎng)度大于3的環(huán)都包含至少一條弦。
換句話說(shuō)：弦圖最大的沒(méi)有弦的環(huán)大小小于3

區(qū)間圖著色問(wèn)題

本篇文章已經(jīng)接近尾聲了，最后來(lái)紀(jì)念一下C語(yǔ)言、UNIX之父——丹尼斯·麥卡利斯泰爾·里奇（Dennis MacAlistair Ritchie）
丹尼斯·里奇(1941年9月9日-2011年10月12日)，C語(yǔ)言之父，UNIX之父。曾擔(dān)任朗訊科技公司貝爾實(shí)驗(yàn)室下屬的計(jì)算機(jī)科學(xué)研究中心系統(tǒng)軟件研究部的主任一職。1978年與布萊恩·科爾尼干（Brian W. Kernighan）一起出版了名著《C程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（The C Programming Language）》。此書(shū)已翻譯成多種語(yǔ)言，被譽(yù)為c語(yǔ)言的圣經(jīng)。2011年10月12日（北京時(shí)間為10月13日），丹尼斯·里奇去世，享年70歲。

普通年輕人可能都要搖頭。丹尼斯·里奇是誰(shuí)？
丹尼斯·里奇不像某位來(lái)自硅谷，精致的和少年得志的億萬(wàn)富翁，穿著簡(jiǎn)約黑色的高領(lǐng)毛衣在站滿粉絲的屋子里，演示新酷產(chǎn)品和惡意攻擊對(duì)手。
不，丹尼斯·里奇是一位胡子有些凌亂的計(jì)算機(jī)科學(xué)家，他穿著羊毛衫坐在一間凌亂的辦公室里。

和喬布斯在大學(xué)輟學(xué)不同，他畢業(yè)于哈佛大學(xué)，有物理學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的博士學(xué)位。他工作于新澤西的 AT&T 貝爾實(shí)驗(yàn)室，而不是閃閃發(fā)光的硅谷。

雖然存在宗教和意識(shí)形態(tài)的差異。但我們虧欠丹尼斯·里奇很多，超出我們的想象。沒(méi)有他的貢獻(xiàn)，現(xiàn)在我們沒(méi)法用個(gè)人計(jì)算機(jī)，成熟的軟件應(yīng)用甚至是互聯(lián)網(wǎng)。
沒(méi)有 Android 智能手機(jī)，沒(méi)有昂貴的 DVR 和流媒設(shè)備，沒(méi)有喬布斯和蘋(píng)果創(chuàng)造令人驚嘆的 Mac 和 iPad。
沒(méi)有微軟的 Windows 10 和 Surface Book。
沒(méi)有云計(jì)算、沒(méi)有 AWS（亞馬遜網(wǎng)絡(luò)服務(wù)，Amazon Web Services），沒(méi)有 Azure（微軟云）。
沒(méi)有“為 XX 而生的應(yīng)用程序”，也沒(méi)有互聯(lián)網(wǎng)這個(gè)東西。
向丹尼斯·里奇致敬 —— 感謝他帶給我們這些技術(shù)，讓我們可以成為今天的專(zhuān)家。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的精心整理2万字c++知识点的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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