轉自?大佬博客

高斯消元快速入門

一、基本描述

學習一個算法/技能，首先要知道它是干什么的，那么高斯消元是干啥的呢？

高斯消元主要用來求解線性方程組，也可以求解矩陣的秩，矩陣的逆。在ACM中是一個有力的數學武器.

它的時間復雜度是n^3，主要與方程組的個數，未知數的個數有關。

那么什么是線性方程組呢??
簡而言之就是有多個未知數，并且每個未知數的次數均為一次，這樣多個未知數組成的方程組為線性方程組。

二、算法過程

其實高斯消元的過程就是手算解方程組的過程，回憶一下小的時候怎么求解方程組：加減消元，消去未知數，如果有多個未知數，就一直消去，直到得到類似kx=b（k和b為常數，x為未知數）的式子，就可以求解出未知數x，然后我們回代，依次求解出各個未知數的值，就解完了方程組。?
換句話說，分兩步：?
1. 加減消元?
2. 回代求未知數值

高斯消元就是這樣的一個過程。?
下面通過一個小例子來具體說明

0.求解方程組

有這樣一個三元一次方程組：?

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1.消去x

①×(?3)+②①×(?3)+②得到?
0x?y?2z=?40x?y?2z=?4

①+③①+③得到?
0x+3y+2z=80x+3y+2z=8

?

2.消去y

3+③得到?
0x+0y?4z=?4

進而得到?

?

至此，我們已經求解出來了?

z=1?

下一步我們進行回代過程

3.回代求解y

將z= 1帶入 ②，求得?

y=2

進而得到?

?

4.回代求解x

將z=1,y=2??? 帶入①，求得?

x=?1

最終得到?

?

至此，整個方程組就求解完畢了。

三、再解算法

對于方程組，其系數是具體存在矩陣(數組)里的，下面在給出實際在矩陣中的表示（很熟悉就可以跳過不看啦~）

0.求解方程組

?

1.消去x

?

2.消去y

?

3.回代求解y

回代的時候，記錄各個變量的結果將保存在另外一個數組當中，故保存矩陣的數組值不會發生改變，該矩陣主要進行消元過程。?

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四、再再解算法

說了這么多，其實有一些情況我們還沒有說到。?
通過上述的消元方法，其實我們比較希望得到的是一個上三角陣(省去了最后的val)?

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下面問題來了：?
Q1：系數不一定是整數啊？?
A1：這時候數組就要用到浮點數了！不能是整數！

Q2：什么時候無解啊？?
A2：消元完了，發現有一行系數都為0，但是常數項不為0，當然無解啦！比如：?

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Q3：什么時候多解啊？?
A3：消元完了，發現有好幾行系數為0，常數項也為0，這樣就多解了！有幾行為全為0，就有幾個自由元，所謂自由元，就是這些變量的值可以隨意取，有無數種情況可以滿足給出的方程組，比如：?

您說這x??? y??? z不是無數組解嘛

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Q4：那什么時候解是唯一的啊！?
A4：您做一下排除法，不滿足2和3的，不就是解釋唯一的嘛！其實也就是說我們的系數矩陣可以化成上三角陣。

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判斷解的情況：

a) 當化簡后增廣矩陣的秩等于原矩陣的秩且等于 n （行）時（即化簡后為絕對的上三角），有唯一解；
b) 當化簡后增廣矩陣的秩等于原矩陣的秩且小于 n 時，有多組解；
c) 當化簡后增廣矩陣的秩與原矩陣的秩不相等時（增廣矩陣化簡后存在（0，0，0,……，a）的情況），無解。

解釋一下什么是增廣矩陣的秩等于原矩陣的秩：

轉化成階梯形矩陣（也就是上三角形的矩陣）

看非零行有幾行，那么秩 就是幾

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五、代碼實現

啰里啰嗦說了一堆，想必算法的流程已經熟悉了，代碼如何實現呢？?

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#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string.h>#include<math.h>using namespace std;const int MAXN=50;int a[MAXN][MAXN];//增廣矩陣int x[MAXN];//解集bool free_x[MAXN];//標記是否是不確定的變元int gcd(int a,int b){if(b == 0) return a; else return gcd(b,a%b);}inline int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出}// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮點數解，但無整數解，//-1表示無解，0表示唯一解，大于0表示無窮解，并返回自由變元的個數)//有equ個方程，var個變元。增廣矩陣行數為equ,分別為0到equ-1,列數為var+1,分別為0到var.int Gauss(int equ,int var){int i,j,k;int max_r;// 當前這列絕對值最大的行.int col;//當前處理的列int ta,tb;int LCM;int temp;int free_x_num;int free_index;for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;free_x[i]=true;}//轉換為階梯陣.col=0; // 當前處理的列for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){// 枚舉當前處理的行.// 找到該col列元素絕對值最大的那行與第k行交換.(為了在除法時減小誤差)max_r=k;for(i=k+1;i<equ;i++){if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;}if(max_r!=k){// 與第k行交換.for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);}if(a[k][col]==0){// 說明該col列第k行以下全是0了，則處理當前行的下一列.k--;continue;}for(i=k+1;i<equ;i++){// 枚舉要刪去的行.if(a[i][col]!=0){LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));ta = LCM/abs(a[i][col]);tb = LCM/abs(a[k][col]);if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//異號的情況是相加for(j=col;j<var+1;j++){a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;}}}}// 1. 無解的情況: 化簡的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).for (i = k; i < equ; i++){ // 對于無窮解來說，如果要判斷哪些是自由變元，那么初等行變換中的交換就會影響，則要記錄交換.if (a[i][col] != 0) return -1;}// 2. 無窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說明沒有形成嚴格的上三角陣.// 且出現的行數即為自由變元的個數.if (k < var){return var - k; // 自由變元有var - k個.}// 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴格的上三角陣.// 計算出Xn-1, Xn-2 ... X0.for (i = var - 1; i >= 0; i--){temp = a[i][var];for (j = i + 1; j < var; j++){if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];}if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 說明有浮點數解，但無整數解.x[i] = temp / a[i][i];}return 0;}int main(void){// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt","w",stdout);int i, j;int equ,var;while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){memset(a, 0, sizeof(a));for (i = 0; i < equ; i++){for (j = 0; j < var + 1; j++){scanf("%d", &a[i][j]);}}int free_num = Gauss(equ,var);if (free_num == -1) printf("無解!\n");else if (free_num == -2) printf("有浮點數解，無整數解!\n");else if (free_num > 0){printf("無窮多解! 自由變元個數為%d\n", free_num);for (i = 0; i < var; i++){if (free_x[i]) printf("x%d 是不確定的\n", i + 1);else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);}}else{for (i = 0; i < var; i++){printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);}}printf("\n");}return 0;}

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的高斯消元知识点的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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