無論是度量（distance）還是范數（norm），都是企圖將任意的一個集合，通過定義關系，進而降維到我們熟知的實數空間進行研究。

度量空間

給定一個集合，原本是無序且元素之間是沒有關系的，而度量（距離）給其定義了2元關系。
如果對于集合的元素，定義任何兩個元素之間有距離，那么這個集合就是度量空間。這個距離的具體定義是：距離是一個實函數，其自變量就是集合中的任意兩個元素，那么這個實函數定義的時候并不給出具體公式，而是給出實函數滿足的性質，就是

• 非負性（兩個元素相等的時候，距離為0），
• 對稱性，
• 三角不等式
  也就這3個性質。

賦范空間

范數是一定定是定義在線性空間上的，因為范數的三角形不等式需要有元素和，而和封閉是線性空間的一個重要性質。
首先賦范線性空間第一是線性空間，一提到線性空間，馬上明白這是一個定義了加法和數乘的集合，而賦范線性空間是定義了范數的線性空間，那么范數怎樣定義的呢？具體是一個元素對應的實函數，具有非負性，一個元素的范數為0的充要條件是元素為0，齊次性以及三角不等式。

只要線性空間的元素滿足上面的性質的實函數就稱為該元素的范數。我們關注對應的三角不等式是：$||x+y||\le ||x||+||y||$ 。

我們比較距離和范數可以發現，距離指的是兩個元素之間的關系，而范數指的是一個元素本身的性質。另外范數的三角不等式中 $||x+y||\le ||x||+||y||$ 之所以成立是因為賦范線性空間中定義了兩個元素的相加，因此 $x+y$ 是有意義的，但是在度量空間中， 其沒有意義，因為度量空間沒有定義任意兩個元素之間的運算。

距離、范數和測度都是定義在一個集合上的元素對應的實數，只不過定義測度的時候，其元素一定是集類中的集合，也就是一個集合對應一個實數，而距離和范數沒有這個要求。

線性空間+范數=賦范空間；

https://zhuanlan.zhihu.com/p/42381836

Banach 空間

賦范空間+完備=Banach 空間

https://zhuanlan.zhihu.com/p/87785242

Hibert 空間

完備內積空間， 而內積空間是 在向量空間（當集合的元素都是向量時）中定義 的內積，則為Hibert.
https://blog.csdn.net/jiangxguang/article/details/108979227

總結

以上是生活随笔為你收集整理的度量空间，赋范空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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