洛谷P2466 [SDOI2008] Sue 的小球 題解

題目鏈接：P2466 [SDOI2008] Sue 的小球

題意：

Sue 和 Sandy 最近迷上了一個電腦游戲，這個游戲的故事發在美麗神秘并且充滿刺激的大海上，Sue 有一支輕便小巧的小船。然而，Sue 的目標并不是當一個海盜，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue 有一個秘密武器，只要她將小船劃到一個彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬間收集到這個彩蛋。然而，彩蛋有一個魅力值，這個魅力值會隨著彩蛋在空中降落的時間而降低，Sue 要想得到更多的分數，必須盡量在魅力值高的時候收集這個彩蛋，而如果一個彩蛋掉入海中，它的魅力值將會變成一個負數，但這并不影響 Sue 的興趣，因為每一個彩蛋都是不同的，Sue 希望收集到所有的彩蛋。

然而 Sandy 就沒有 Sue 那么浪漫了，Sandy 希望得到盡可能多的分數，為了解決這個問題，他先將這個游戲抽象成了如下模型：

將大海近似的看做 $x$ 軸，以 Sue 所在的初始位置作為坐標原點建立一個豎直的平面直角坐標系。

一開始空中有 $N$ 個彩蛋，對于第 $i$ 個彩蛋，他的初始位置用整數坐標 $(x_i,y_i)$ 表示，游戲開始后，它勻速沿 $y$ 軸負方向下落,速度為 $v_i$ 單位距離/單位時間。Sue 的初始位置為 $(x_0,0)$，Sue 可以沿 $x$ 軸的正方向或負方向移動，Sue 的移動速度是 $1$ 單位距離/單位時間，使用秘密武器得到一個彩蛋是瞬間的，得分為當前彩蛋的 $y$ 坐標的千分之一。

現在，Sue 和 Sandy 請你來幫忙，為了滿足 Sue 和 Sandy 各自的目標，你決定在收集到所有彩蛋的基礎上，得到的分數最高。

對于 $100\%$ 的數據，$?10^4\le x_i,y_i,v_i\le 10^4$，$N\le 1000$

首先先將彩蛋按 $x$ 排序

因為可以左右走，可以想到這是一個區間dp

設 $f_{0/1,i,j}$ 表示區間 $[i,j]$ 的彩蛋都被收集后的最小花費（代價），0/1表示此時在 $i$ 還是 $j$

轉移方程？

注意到當前的決策會受到之前決策的影響，也就是當前的時刻我們并不清楚

考慮增加一維？那就是暴力解法了

那怎么處理這個時刻的問題呢？

我們轉化一下剛才的問題，

“當前的決策會受到之前決策的影響”

換句話說，就是當前的決策會影響之后的決策

也就是，現在的時刻會影響之后轉移時的物品價值

考慮每次決策時，就把之后的代價先算進去

設 $w_{i,j}$ 表示區間 $[i,j]$ 對之后決策造成的影響（代價），不難發現
$$w_{i,j}=\sum _{i=0}^n{v}_i?\sum _{k=i}^j{v}_k$$
顯然可以前綴和優化

當然最重要的是，我們可以很容易地推出轉移方程了
$$\begin{gathered} f_{0,i,j}=\min \left\{f_{0,i+1,j}+(x_{i+1}?x_i)\times (S_i+S_n?S_j),f_{1,i+1,j}+(x_j?x_i)\times (S_i+S_n?S_j)\right\} \\ {f}_{1,i,j}=\min \left\{f_{0,i,j?1}+(x_j?x_i)\times (S_{i?1}+S_n?S_{j?1}),f_{1,i,j?1}+(x_j?x_{j?1})\times (S_{i?1}+S_n?S?j?1)\right\} \end{gathered}$$
其中 $S_k={\sum }_{i=1}^k{v}_k$

時間復雜度 $O(n^2)$

答案就是 $\sum y_i?\min \left\{f_{0,1,n},f_{1,1,n}\right\}$

代碼：

#include <iostream> #include <string> #include <vector> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <iomanip> using namespace std; #define int long long #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f #define N (int)(1e3+15)int n,x0,f0[N][N],f1[N][N]; struct node{int x,y,v;}a[N]; signed main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);// freopen("check.in","r",stdin);// freopen("check.out","w",stdout);cin >> n >> x0;for(int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i].x;for(int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i].y;for(int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i].v;a[++n].x=x0;sort(a+1,a+1+n,[](node a,node b){return a.x<b.x;});memset(f0,0x3f,sizeof(f0));memset(f1,0x3f,sizeof(f1));for(int i=1; i<=n; i++)if(a[i].x==x0){f0[i][i]=f1[i][i]=0;}for(int i=1; i<=n; i++) a[i].v+=a[i-1].v;for(int len=2; len<=n; len++)for(int i=1,j=i+len-1; j<=n; i++,j++){f0[i][j]=min(f0[i+1][j]+(a[i+1].x-a[i].x)*(a[i].v+a[n].v-a[j].v),f1[i+1][j]+(a[j].x-a[i].x)*(a[i].v+a[n].v-a[j].v));f1[i][j]=min(f0[i][j-1]+(a[j].x-a[i].x)*(a[i-1].v+a[n].v-a[j-1].v),f1[i][j-1]+(a[j].x-a[j-1].x)*(a[i-1].v+a[n].v-a[j-1].v));}int sum=0;for(int i=1; i<=n; i++) sum+=a[i].y;cout << fixed << setprecision(3);cout << ((sum-min(f0[1][n],f1[1][n]))/1000.0) << '\n';return 0; }

參考文獻

[1] https://www.luogu.com.cn/blog/Bartholomew/solution-p2466

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷P2466 [SDOI2008] Sue 的小球 题解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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