一、理論部分

1、用圖形的方法提供對非線性效應的直觀理解（相平面分析&描述函數法）

相平面分析

????????19世紀數學家龐加萊等確定了一種稱作相平面法的圖形化方法，用圖形來解二階常微分方程，在線性系統中曾經介紹過軌線，而這種方法的核心就在于在二維平面上畫出不同初始值的系統運動軌線，從而分析系統。

基本方法：解析法、圖解法、實驗法---應用相平面法分析非線性系統的前提就是要繪制相軌跡。

a.解析法

解析法就是用求解微分方程的方法找出和的關系，從而在相平面(到)能夠繪制相軌跡。當描述系統運動的微分方程比較簡單，或者可以分段線性化時，應用分析法比較方便。 對于一維變量，直接解方程求出。若該式可以分解為???，找到

?b.?等傾線法和寫函數法

圖解法是一種不必求出微分方程的解，而是通過各種逐步作圖的方法，直接在相平面上畫出相軌跡的方法。當微分方程用解析法求解比較復雜，困難甚至不可能時，對于非線性系統，圖解法尤為重要。二階時不變系統一般可用常微分方程描述:，對于一維變量，?有

當不為0時，有

根據不同初始條件，它確定了不同的平面的相軌跡，把相軌跡上具備有等斜率點的連線稱為等傾線。等傾線方程.若在相平面里作出足夠多的等傾線,并在每跟等傾線上用短線標明和相軌跡通過該線的方向(切線方向)稱方向場.按方向場從起點到終點,則可繪出相軌跡。典型的相平面圖如下：

穩定焦點

?不穩定焦點

穩定節點

不穩定節點

鞍點

中心點?

?描述函數法

類似于經典控制理論的頻率響應，非線性系統因為不能定義頻率響應函數，但對于特殊并且常見的非線性系統，可以對頻域方法進行擴展，即描述函數方法，它可以用來近似的分析和預測非線性特性，由于缺乏系統的非線性系統分析工具，使得它在實際工作當中不可缺少，在工程應用中描述函數方法，主要用來預測非線性系統的極限環。

使用條件：

(1)對結構圖的要求：N(A)和1個線性部分G(s)串聯。 非線性系統的結構圖可以簡化成只有1個非線性環節N(A)和1個線性部分G(s)相串聯的典型形式。

(2) 對N(A)的要求：N(A)奇對稱,y1(t)幅值占優。非線性環節的輸入輸出特性是奇對稱的，即y(一x)=一y(x)，保證非線性特性在正弦信號作用下的輸出不包含常值分量，而且y(t)中基波分量幅值占優。

(3)對G(s)的要求：線性部分具有較好的低通濾波性能。當非線性環節輸入正弦信號時，輸出中的高次諧波分量將被大大削弱，因此閉環通道內近似只有基波信號流通。線性部分的階次越高，低通濾波性能越好，用描述函數法所得的分析結果的準確性也越高。

?常用的非線性環節如下：

分析方法：

(1)G(jw)曲線沒有包圍-1／N(A)曲線，則非線性系統穩定。

(2)G(jw)曲線包圍-1／N(A)曲線，則非線性系統不穩定。

(3) -1／N(A)曲線與G(jw)曲線相交，非線性系統處于臨界狀態，則在非線性系統中產生周期性振蕩，若沿著幅值增加的方向，???是從穩定的區域進入不穩定的區域，則交點處為不穩定的周期運動；若沿著幅值增加的方向，?????是從不穩定的區域進入穩定的區域，則交點處為穩定的周期運動，即自振蕩。交點處對應的頻率就是振蕩的頻率，對應的幅值就是振蕩的幅值。

2、 基于Lyapunov理論的非線性系統穩定性分析

穩定性：

在活動區域Ω內，當李氏函數V(x，t)存在連續的一階偏導數時，如果：
a、V(x，t)為正定。
b、V’(x，t)半負定。
則平衡點0是李氏穩定。

李氏一致穩定
在活動區域Ω內，當李氏函數V(x，t)存在連續的一階偏導數時，如果：
a、V(x，t)為正定。且V(x，t)有無窮大上界（我理解就是普通意義上的無界，即V<∞）
b、V’(x，t)半負定。
則平衡點0是一致穩定

李氏一致漸進穩定
在活動區域Ω內，當李氏函數V(x，t)存在連續的一階偏導數時，如果：
a、V(x，t)為正定。且V(x，t)有無窮大上界（我理解就是普通意義上的無界，即V<∞）
b、V’(x，t)負定。
則平衡點0是一致漸近穩定

4、李氏全局漸進穩定
在整個空間內，當李氏函數V(x，t)存在連續的一階偏導數時，如果：
a、V(x，t)為正定。且V(x，t)有無窮大上界（我理解就是普通意義上的無界，即V<∞）
b、V’(x，t)負定。
c、V(x，t)徑向無界。
則平衡點0是全局一致漸近穩定

Lyapunov第一法：

需要將非線性系統在平衡態附近近似線性化，然后討論線性化系統的特征值分布來研究原非線性系統的穩定性問題。

若矩陣A的特征根均為負實部，則系統就是大范圍漸近穩定的。

Lyapunov第二法：

對于系統：

????????

Lyapunov定義了一個“廣義能量”函數，根據這個標量函數的性質，可以判斷系統的穩定性。找到滿足“李氏全局漸進穩定”的函數V(x，t)。（由于滿足V(x，t)正定且V’(x，t)負定的函數很難找到，下面定義了寬松條件下的方法）

由拉塞爾不變集優化的Lyapunov第二法：

在尋找Lyapunov函數時，V(x，t)徑向無界，非零解的狀態運動軌跡上不恒為0，若此時V(x，t)正定且V’(x，t)負半定，則系統的平衡狀態仍然是漸近穩定的！

Lyapunov不穩定性判據：

如果找到了有連續一階偏導數的標量函數V(x，t)，滿足V(x，t)正定，V(x，t)的導數也正定，那么系統平衡狀態是不穩定的。

尋找Lyapunov函數的一些方法和技巧：

a、對于像滑模控制、軌跡跟蹤、自適應控制、魯棒性控制（高頻、高增益）等等，構造以誤差

為變量的函數。

b、能量函數

二、非線性控制器設計

1、反饋線性化

注：系統能建立出精確的狀態方程，用反饋線性化是一種比較簡單的控制器設計思路，相對于比較復雜的控制器更容易進行參數調節。通過反饋線性化后的非線性系統變成了一個簡單的線性系統，此時通過數學方法分析和求解更為簡單，更方便分析系統。

對于系統：

若f(x)和b(x)均為非線性函數，顯然當其中時，可以消去，非線性部分。

題外話：什么是線性化？線性化之后得系統性質是否還和原系統一致？

并不是所有的系統都能線性化，例如必須滿足當泰勒展開

要求，才可以線性化展開成。此時如果：

a、線性化后的系統一致漸近穩定則原系統在原點也一致漸近穩定。?

b、當A為常矩陣時，線性化后的系統一不穩定則原系統在原點也不穩定。

注意：線性化和反饋線性化是完全不同的兩個概念！

?反饋線性化應用實例：某系統

不妨設，使得，設Lyapunov函數，為正定（以下簡稱PD），，顯然反饋線性化之后系統在原點是穩定的，若A，B是常數，則。顯然，對于一些形式來說，控制輸入有時候并不能直接消除非線性，或者等式右邊根本就不含有控制輸入這一項。

2、反步法

例如：a、彈簧小車模型控制器設計：，要求控制F使得物塊在光滑的地面上，沿著指定的軌跡運動。

重新定義系統微分方程：

第一步：定義誤差e=,定義Lyapunov函數V=。顯然V為PD。

第二步：對V求導，。

第三步：令，使得，因此對于速度，要求其跟蹤速度，當時，，此時。

第四步：同樣，令，顯然W為PD。，若要，則，即。與此同時，，將代入得

第五步：求出u=

例子二：

3、滑模控制其設計（SMC）

介紹：

? ? ? ?滑動模態是系統被限制在某一子流形上運動時的狀態。一般而言，系統的初始狀態不一定在該子流形上；而通過變結構控制器的作用可以在一定時間范圍內將系統的狀態軌跡驅使到并保持在該子流形上，該過程稱為到達過程。系統的狀態軌跡在滑動模態上運動并最終趨于原點，該過程稱為滑模運動。

要求 ：

例如為了使系統停留在。設計滑模面要求：

1.穩定性條件：在s=0的滑模面上，狀態是收斂的，即滑動模態存在；
2.可達性條件：在切換面s=0以外的運動點將于有限時間內到達切換面；
3.保證滑模運動的穩定性；
4.達到控制系統運動品質要求。

從而令Lyapunov函數V=，當系統在滑模面上收斂。

為了更具一般化，對于系統，要使系統停留在原點，設計的滑模面，此時滑模面的要求為滿足赫爾維茨。取V=,為了使系統穩定，我們需要使此時系統對于s而言是漸進穩定，不能保證其有限時間到達s=0的滑模面上(漸進穩定是當t趨于無窮時，狀態變量x趨于0，即無限時間到達)，因此需要，σ是一個極小的正數。
但是每次設計總不能都用李雅普諾夫函數判斷，于是人們就提出了趨近律這一概念，常用的趨近律有如下幾種：
1.等速趨近律：，ε > 0?
2.指數趨近律：，ε > 0 ，k>0
3.冪次趨近律：，k > 0 , 1 > α > 0。

對于冪次趨近律，選取Lyapunov函數：?V=?

所以。所以軌跡s(t)大范圍漸近穩定到原點。s(t)在有限時間內到達原點。

4、自適應控制器設計（APC）：

設被控對象的狀態方程和輸出方程如下所示：

?

那么參考模型的狀態方程和輸出方程可構造為如下所示：

首先，對原系統和模型做差如下：

如果強迫誤差e為零,系統需要滿足矩陣Am特征根大小為負,且令控制器輸出滿足如下：

?

由于控制器?中的參數a，b未知，便有了自適應率的出現。自適應率的設計目的就是為了在線辨識出控制器中的這兩個未知參數。

方法1： 梯度法

假設MRAC控制器中含有一個未知可調節的參數??，定義參考模型和被控對象的狀態變量偏差如下：

在上式子中，我們的目標是通過調節參數來令偏差?最小，

這里引入一個損失函數（loss function）如下：J=

如果令?e=0，則J=0。也就是需要求得J的最小值。利用梯度下降算法，即：

沿著的負梯度方向變化參數（由于梯度的正方向是損失函數??上升最快的方向，我們要最小化J??，即讓參數沿著梯度相反的方向前進一個步長，因此參數變化的反方向與J的負梯度方向一致，可以獲得??的極小值）。

方法2：穩定性理論分析法（李雅普諾夫第二法、波波夫超穩定性法等）

三、相關概念

1、極限環

非線性系統可能會呈現固定振幅固定周期無外部激勵的自震蕩現象，這些自震蕩被稱之為極限環或者自激勵震蕩。這個重要的現象由荷蘭電子工程師Van der Pol在1920年代第一次研究發現
例1.3 范德玻爾方程
考慮如下二階非線性差分方程：

m,c,k都是正的常量。該方程可以看成是一個帶有與位置相關的阻尼項2c(x2-1)的質量-彈簧-阻尼 系統，如果x值大一些，那么阻尼項是正的且在消耗系統里的能量，這表示該系統有一個收斂的趨勢。而當x小一些時，阻尼項為負并開始往系統里面增加能量（這里能量的減少與增加是怎么看出來的？），表示系統有一個發散的趨勢。因此，由于非線性項隨著x一直改變，系統的運動呈現一個持續不斷，且與初值無關的震蕩，既不會無限發散也不會收斂到0。

線性系統里面也有周期震蕩，但線性系統的周期震蕩和這里的極限環是有區別的。首先，非線性系統的自激勵震蕩幅度與初值無關，而線性系統的周期震蕩幅度由初值決定；另外，線性系統的對于系統參數的變化十分敏感，而非線性系統極限環受參數變化的影響很小。

極限環代表了一類非線性系統里面很重要的一個現象，在自然與工程中很常見。比如機翼的風抖，一種由結構振動和空氣動力引發的極限環現象，這很常見也對飛行器很不安全。另外腿結構機器人的單足跳躍運動也是極限環的一個例子。可以發現，極限環有的時候對系統是有害的，有的時候是有用的。有害的時候作為一個控制工程師就要知道怎么消除它，有用的時候就要知道怎么激勵并利用它。要做到這個需要理解極限環的性質，以及熟悉一些操控極限環的方法工具
?

2、分岔

當非線性動態系統的一些參數變化時，平衡點的穩定性和平衡點的數量有可能會隨之改變，這就叫分岔現象，這些使系統發生質變的參數數值被稱之為關鍵數值或者分岔數值(critical value or bifurcation value)，研究分析現象就是分岔理論所要討論的問題。?

3、混沌

對于穩定線性系統，初值的小變化只能引起輸出的小變化。而非線性系統，可能會呈現出混沌現象，意思是系統響應對初值十分敏感。混沌的一個重要特征就是輸出結果的不可預測性，即便我們有了準確的非線性系統模型以及很強的計算機，系統的長期響應依舊不能很好地預測。?

我們必須要能區分混沌與隨機運動的區別，在隨機運動中，系統模型或者輸入有很強的不確定性，因此造成了輸出的不可預測。在混沌中，系統與輸入有著很小的不確定性，但依舊不可預測輸出。
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總結

以上是生活随笔為你收集整理的非线性系统稳定性理论分析、设计方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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