矩陣和實數運算不同之處

除了矩陣乘法不滿足交換律外，矩陣還有幾個特殊之處。

定義 零矩陣 元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作 $\mathbf{O}$ 。注意不同型的零矩陣是不同的。

實數 $ab=0$ 可得 $a=0$ 或 $b=0$ ，矩陣中存在類似的結論嗎，即兩個矩陣乘積為零矩陣，可得出某個矩陣為零矩陣嗎？結論是不能！若有兩個矩陣 $A$ 、$B$ 滿足 $AB=\mathbf{O}$ ，不能得出 $A=\mathbf{O}$ 或 $B=\mathbf{O}$ 的結論；若 $A=\mathbf{O}$ 而 $A(X?Y)=\mathbf{O}$ ，不能得出 $X=Y$ 的結論。

為什么呢？如果矩陣 $A$ 是相關組，則存在多個非零向量 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$ 滿足 $A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}=0$ ，合成矩陣形式即得 $AB=\mathbf{O}$ 。

例如
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}2& ?4\\ ?1& 2\end{array}\right]AB=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

實數 $a^2=1$ 可得 $a=1$ 或 $a=?1$ ，矩陣中存在類似的結論嗎，即矩陣平方為單位矩陣，可得出矩陣為單位矩陣或相反的單位矩陣嗎？結論是不能！若有矩陣 $A$ 滿足 $AA=E$ ，不能得出 $A=E$ 或 $A=?E$ 的結論。

定義 對合矩陣 逆矩陣等于自身的矩陣，即滿足 $AA=E$ 的矩陣。

對合矩陣有無窮多個，不只是單位矩陣。矩陣如果即是對稱矩陣又是正交矩陣，則是對合矩陣。

實數 $a^2=a$ 可得 $a=1$ 或 $a=0$ ，矩陣中存在類似的結論嗎，即矩陣平方等于自身，可得出矩陣為單位矩陣或零矩陣嗎？結論是不能！若有矩陣 $A$ 滿足 $AA=A$ ，不能得出 $A=E$ 或 $A=\mathbf{O}$ 的結論。

定義 冪等矩陣 矩陣平方等于自身，即滿足 $AA=A$ 。

冪等矩陣有無窮多個，投影矩陣 $P$ 就是冪等矩陣， 且 $2A?E$ 是對合矩陣。

故大家在進行矩陣運算時，不能想當然地認為實數結論可以推廣到矩陣，一定要謹慎！因為矩陣本質上是一種線性映射，是一種函數。矩陣乘法對應著函數的復合，而函數的復合是不可交換的，導致矩陣乘法極其復雜。

矩陣乘法沒有逆運算：除法，不能定義矩陣 $A／B$ 。

因為矩陣乘法 $AB=C$ 的逆是已知矩陣 $A$ 和 $C$ ，求矩陣 $B$ 。滿足等式成立的矩陣 $B$ 不唯一，所以無法定義矩陣除法。矩陣 $A$ 滿足什么條件，矩陣 $B$ 是唯一的呢？當矩陣 $A$ 的向量組是無關組時，$A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}$ 是單射， 向量 ${\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}$ 確定唯一的向量 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$ ，所以 $AB=\left[A{\mathbf{b}}_1,?,A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}\right]=\left[{\mathbf{c}}_1,?,{\mathbf{c}}_{\mathbf{p}}\right]=C$ ，矩陣 $C$ 確定唯一矩陣 $B$ ，此時才能定義矩陣除法。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.11 矩阵和实数运算不同之处的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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