線性變換

矩陣乘以向量 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ ，可以看成函數，函數輸入是向量 $\mathbf{x}$ ，輸出是向量 $\mathbf{y}$ 。線性代數把函數看作變換，向量 $\mathbf{x}$ 變換成向量 $\mathbf{y}$ ，矩陣 $A$ 稱為變換矩陣，變換矩陣作為一個整體。 $m$ 行 $n$ 列矩陣 $A$ 記為 $A_{mn}$ ，把 $n$ 維向量變換維 $m$ 維向量， $m、n$ 是任意自然數。$m$ 維向量記為 ${\mathbf{x}}_{\mathbf{m}}$ ，這樣寫的好處是可以看到維度。

定義 線性變換 設 $V_n$ , $U_m$ 分別是 $n$ 維和 $m$ 維線性空間，$T$ 是一個從 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，如果映射 $T$ 滿足：

對任意 $\mathbf{v},\mathbf{w}\in V_n$ ，滿足 $T(\mathbf{v}+\mathbf{w})=T(\mathbf{v})+T(\mathbf{w})$ 。

對任意 $\mathbf{v}\in V_n,\lambda \in R$ ，滿足 $T(\lambda \mathbf{v})=\lambda T(\mathbf{v})$ 。

$T$ 稱為從 $V_n$ 到 $U_m$ 的線性映射或線性變換。

矩陣變換滿足數乘和分配率 $A(\alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w})=\alpha A\mathbf{v}+\beta A\mathbf{w}$ ，顯然滿足上面兩個條件，所以是線性變換。物理意義是向量組線性組合（ $\alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w}$ ）的變換等于變換向量組 （ $A\mathbf{v},A\mathbf{w}$ ）的線性組合。由于這個性質，只需要搞清楚基的變換，就可以得出任意向量的變換。

重要性質 令變換矩陣 $A_{mn}$ 把 $n$ 維空間中基 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ，變換為 $m$ 維空間中 $n$ 個向量 $({\mathbf{w}}_1=A{\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{w}}_{\mathbf{n}}=A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ，則 $n$ 維空間中任意向量 ${\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ ，變換為 $m$ 維空間的向量
$$\begin{gathered} A({\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})={\alpha }_{1}A{\mathbf{v}}_1+?+{\alpha }_{n}A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}} \\ ={\alpha }_1{\mathbf{w}}_1+?+{\alpha }_n{\mathbf{w}}_{\mathbf{n}} \end{gathered}$$

如何理解這個關系呢？我們只需要知道空間的基及其對應的變換向量組，則對任意向量，只需其基的表示系數組，就可以獲得變換向量，即基變換向量組的線性組合，不需要知道變換矩陣本身！也就是說，變換矩陣由基變換關系 $({\mathbf{w}}_1=A{\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{w}}_{\mathbf{n}}=A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 唯一決定；或者說，由基變換關系 $({\mathbf{w}}_1=A{\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{w}}_{\mathbf{n}}=A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 可以得到變換矩陣。基變換關系是理解矩陣的核心！

重要性質 線性變換把線性空間變換為線性空間。

假設線性空間 $S(V)$ 由向量組 $V=({\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 張成，則矩陣 $A$ 變換后，向量組 $V$ 變換成向量組 $W=(A{\mathbf{v}}_1,?,A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ，則變換后的空間由向量組 $W$ 張成。

如果向量組 $V$ 是無關組，變換后的向量組 $W$ 一般來說是相關組，甚至可能都變換為 $0$ 向量。只有變換矩陣 $A$ 的向量組是無關組時，向量組 $W$ 才會是無關組。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.3 线性变换引入的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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