矩陣基本運算

矩陣作為有序向量組的整體，可以進行運算，就如同向量作為有序數組的整體。主要運算包括相等，加法和數乘。矩陣運算規則都是根據矩陣乘以向量是矩陣向量組的線性組合推導出來的，即公式（1）。

矩陣相等

兩個矩陣 $A$， $B$ 相等，即對任意向量 $\mathbf{x}$ ，需滿足 $A\mathbf{x}=B\mathbf{x}$ 。

首先，進行矩陣形狀判斷，由于和同樣向量 $\mathbf{x}$ 相乘，所以矩陣 $A$， $B$ 必須包含相同數量的向量，即列數相等。矩陣乘以向量的結果是向量，結果向量要相等，維度必須相同，所以矩陣 $A$， $B$ 中的向量維度必須相同，即行數相等。所以矩陣 $A$， $B$ 是形狀相同的矩陣。

定義 同型矩陣 兩個矩陣的行數相等、列數也相等。

其次，當向量 $\mathbf{x}={\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=(0,?,1,?,0),i\in \left[1,m\right]$ ，$m$ 維向量 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ 有 $m$ 個分量，只有第 $i$ 個分量為1，其他分量均為0。此時
$$\begin{gathered} A{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=0{\mathbf{a}}_1+0{\mathbf{a}}_2+?+1{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}+?+0{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{a}}_{\mathbf{i}} \\ B{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=0{\mathbf{b}}_1+0{\mathbf{b}}_2+?+1{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+?+0{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{b}}_{\mathbf{i}} \\ 所以由A{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}＝B{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}得{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}foranyi\in \left[1,n\right] \end{gathered}$$
所以矩陣 $A$， $B$ 每個對應列的向量相等。

定義 矩陣相等 兩個矩陣相等，必須是同型矩陣且每個對應的列向量相等。

當矩陣排成二維表格時，需表格形狀相同，且每個對應位置的數都相等時，矩陣才相等。

例如，下面兩個矩陣相等
$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]$$
下面兩個矩陣不相等，因為第2個列向量的第2個分量不同。
$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 4\end{array}\right]$$
下面兩個矩陣不相等，因為向量順序不同。
$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 1\end{array}\right]$$
下面兩個矩陣不相等，因為形狀不同。
$$A=?\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\\ 0& 0\end{array}?B=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]$$

矩陣加法

兩個矩陣 $A$， $B$ 相加，即對任意向量 $\mathbf{x}$ ，需滿足 $C\mathbf{x}=A\mathbf{x}+B\mathbf{x}$ ，稱矩陣 $C$ 是矩陣 $A$， $B$ 的和，記為 $C=A+B$ 。

首先，進行矩陣形狀判斷，由于和同樣向量 $\mathbf{x}$ 相乘，所以矩陣 $A$， $B$ ，$C$ 必須包含相同數量的向量。矩陣乘以向量的結果是向量，結果向量要相等，維度必須相同，所以矩陣 $A$， $B$ ，$C$ 中的向量維度必須相同。所以矩陣 $A$， $B$ ，$C$ 必須是同型矩陣。

其次，當向量 $\mathbf{x}={\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ ，此時
$$\begin{gathered} A{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=0{\mathbf{a}}_1+0{\mathbf{a}}_2+?+1{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}+?+0{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{a}}_{\mathbf{i}} \\ B{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=0{\mathbf{b}}_1+0{\mathbf{b}}_2+?+1{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+?+0{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{b}}_{\mathbf{i}} \\ C{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=0{\mathbf{c}}_1+0{\mathbf{c}}_2+?+1{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}+?+0{\mathbf{c}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{c}}_{\mathbf{i}} \\ 所以由C{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=A{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}+B{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}得{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}foranyi\in \left[1,n\right] \end{gathered}$$

所以矩陣 $C$ 的每個列向量等于 $A$， $B$ 的對應列向量之和。

定義 矩陣加法 兩個矩陣相加，必須是同型矩陣才能相加，結果矩陣的每個列向量等于相加矩陣的對應列向量之和。

例如，下面兩個矩陣相加
$$\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 5& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0+4& 2+6\\ 1+5& 3+7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 8\\ 6& 10\end{array}\right]$$
當矩陣排成二維表格時，矩陣相加，需表格形狀相同，且每個對應位置的數相加即是結果矩陣。

根據矩陣加法定義，矩陣加法滿足交換律和結合律，
$$\begin{gathered} \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A} \\ (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \end{gathered}$$

矩陣數乘

矩陣 $A$ 與任意向量 $\mathbf{x}$ ，如滿足 $B\mathbf{x}=A(\lambda \mathbf{x})$ ，記 $B=\lambda A$ ，為矩陣 $A$ 與實數 $\lambda$ 的數乘。

首先，進行矩陣形狀判斷，由于和同樣向量 $\mathbf{x}$ 相乘，所以矩陣 $A$， $B$ 必須包含相同數量的向量。矩陣乘以向量的結果是向量，結果向量要相等，維度必須相同，所以矩陣 $A$， $B$ 中的向量維度必須相同。所以矩陣 $A$， $B$ 是同型矩陣。

其次，當向量 $\mathbf{x}={\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ ，此時
$$\begin{gathered} A(\lambda {\mathbf{e}}_{\mathbf{i}})=\lambda 0{\mathbf{a}}_1+\lambda 0{\mathbf{a}}_2+?+\lambda 1{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}+?+\lambda 0{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\lambda {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}} \\ B{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=0{\mathbf{b}}_1+0{\mathbf{b}}_2+?+1{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+?+0{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{b}}_{\mathbf{i}} \\ 所以由A(\lambda {\mathbf{e}}_{\mathbf{i}})＝B{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}得{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}=\lambda {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}foranyi\in \left[1,n\right] \end{gathered}$$
所以矩陣 $A$ 的數乘結果為每個向量數乘。

定義 矩陣數乘 矩陣每個列向量數乘。

當矩陣排成二維表格時，每個位置的數都乘以相同實數。

例如，下面矩陣數乘2
$$2A=2\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ 2& 6\end{array}\right]$$
根據定義，矩陣數乘滿足結合律和分配率，
$$\begin{gathered} \alpha (\beta \mathbf{A})=(\alpha \beta )\mathbf{A} \\ (\alpha +\beta )\mathbf{A}=\alpha \mathbf{A}+\beta \mathbf{A} \\ \alpha (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\alpha \mathbf{A}+\alpha \mathbf{B} \end{gathered}$$

矩陣減法

定義 矩陣減法 矩陣 $A$ 減去矩陣 $B$ 等于矩陣 $A$ 加上矩陣 $B$ 的 $?1$ 數乘。

如同向量減法，矩陣減法可以看作矩陣加法。故本書除特別指明者外，一般只討論矩陣加法。

矩陣乘以向量

分配率

矩陣 $A$ 乘以向量 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$
$$\begin{gathered} A(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(v_1+w_1){\mathbf{a}}_1+(v_2+w_2){\mathbf{a}}_2+?+(v_n+w_n){\mathbf{a}}_{\mathbf{n}} \\ =(v_1{\mathbf{a}}_1+v_2{\mathbf{a}}_2+?+v_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}})+(w_1{\mathbf{a}}_1+w_2{\mathbf{a}}_2+?+w_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}) \\ =A\mathbf{v}+A\mathbf{w} \end{gathered}$$
矩陣 $A+B$ 乘以向量 $\mathbf{v}$
$$\begin{gathered} (A+B)\mathbf{v}=v_1({\mathbf{a}}_1+{\mathbf{b}}_1)+v_2({\mathbf{a}}_2+{\mathbf{b}}_2)+?+v_n({\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}) \\ =(v_1{\mathbf{a}}_1+v_2{\mathbf{a}}_2+?+v_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}})+(v_1{\mathbf{b}}_1+v_2{\mathbf{b}}_2+?+v_n{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}) \\ =A\mathbf{v}+B\mathbf{v} \end{gathered}$$
重要性質 分配率 $A(\mathbf{v}+\mathbf{w})=A\mathbf{v}+A\mathbf{w}$ 和 $(A+B)\mathbf{v}=A\mathbf{v}+B\mathbf{v}$

重要性質 數乘和分配率 $A(\alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w})=\alpha A\mathbf{v}+\beta A\mathbf{w}$

注意向量乘以矩陣是沒有意義的。

矩陣這些運算都很平凡，運算規則類似實數運算規則。矩陣神奇之處在于矩陣乘法，為了引入矩陣乘法，需要換個角度看矩陣乘以向量。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.2 矩阵基本运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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