一、求余運算（Remainder）

（參考維基百科：?http://zh.wikipedia.org/wiki/余數??http://en.wikipedia.org/wiki/Remainder?http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_divisionhttp://zh.wikipedia.org/wiki/同余）

Euclidean division：Given two integers a and b, with b ≠ 0, there exist unique integers q and r such that a = bq + r and 0 ≤ r < |b|, where |b| denotes the absolute value of b.

(術語：? a 被除數 dividend ； b 除數 divisor；q 商 quotient；r 余數 remainder)

按照上面的定義：余數唯一并始終大于或等于0，并可以拓展到兩個整數為正數或負數的情況。

但是，程序設計語言求余算法并不是按照上面的定義來執行。

我們引出另一種余數定義：a = bq + r and 0 <= |r| < |b| 。于是，我們可以發現這種情況下余數可能不止一個。

例子：a = 43 b = 5時：

43 = 5 * 8 + 3 ： q = 8；r = 3 (r > 0)

43 = 5 * 9 -? 2 ： q = 9；r = -2 (r < 0)

當a 和 b 含有負數時也存在這兩種余數。

例子：a = 43 b = -5時：

43 = -5 * -8 + 3 ： q = -8；r = 3 (r > 0)

43 = -5 * -9 -? 2 ： q = -9；r = -2 (r < 0)?

大多數程序設計語言要求余數與被除數的正負號相同（參考自《C陷阱與缺陷》，強調了程序的可移植性問題，即被除數或除數含有負數時要謹慎對待）。這說明不同程序設計語言實現時對上述例子求余時可能是上面不同的解。

二、取模運算 （Modulo）

（參考維基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Modulo_operation??http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic）

In computing, the modulo operation finds the remainder after division of one number by another (sometimes called modulus).

上面這句話說明，取模運算和求余運算的目標都是一致的。只是不同程序設計語言時實現的方式可能不同，也就是上面所說的采用另一種余數定義時，含有兩種余數結果。一些語言可能會采取第一個結果；另一些語言可能會采取第二個結果；還有些語言可能會把取模和求余分開定義，分別采取兩種結果。維基百科里面就列出了一些程序設計語言采取的操作，常見的為以下幾種：

1.求余結果或取模結果的正負號與被除數相同；

2.求余結果或取模結果的正負號與除數相同；

3.求余結果或取模結果的總是正數；

4.求余結果或取模結果由實現定義；

5.求余結果或取模結果為最接近0的數；

求余運算和取模運算小結：有人會把取模運算和求余運算分開解釋，又采用特定的語言去舉例，我認為這兩種運算目標都是一致，只是求余運算傾向于數學，而取模運算傾向于計算機科學，之所以不同語言會有不同的結果，本質是因為根據求余運算定義導致余數不唯一時不同程序設計語言采用了不同的結果，但他們都會根據某種依據來給出唯一的結果。這也告訴我們，程序移植時必須當心這種差別，特別是當兩個整數含有負數的情況。

三、取模運算性質

術語：

For a?positive?integer n, two integers a and b are said to be congruent modulo n, and written as

一些有用的性質（可證明）：

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，則a+x≡b+y(mod m)。

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，則ax≡by(mod m)。

如果ac≡bc(mod m)，且c和m互質，則a≡b(mod m) （就是說同余式兩邊可以同時除以一個和模數互質的數）。

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【來源】

轉載于:https://www.cnblogs.com/skullboyer/p/9437670.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【转】数学与编程——求余、取模运算及其性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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