文章目錄

• 10、腳注-高階函數
• 11、泰勒級數

10、腳注-高階函數

本節只是為了下一節做鋪墊，說一下什么是高階函數

例如，路程函數 $s(t)$
二階導數就是，導數的導數；后面同理；

11、泰勒級數

泰勒公式-百度百科
泰勒公式是將一個在$x=x_0$處具有n階導數的函數$f(x)$利用關于$(x?x_0)$的n次多項式來逼近函數的方法。
若函數$f(x)$在包含$x_0$的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：

$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+(x?x_0)\frac{f^{{}^{\prime }}(x_0)}{1!}+(x?x_0{)}^2\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}+?+(x?x_0{)}^n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+R_n(x)$

這個咋一看，太復雜；本節就是形象解析這個內容，為真正學習微積分進行入門鋪墊。

首先有一個例子引入，單擺離最低點的距離函數為$R(1?cos(\theta ))$，如下

但是，由于單擺擺動幅度很小，這個$cos(\theta )$就顯得很奇怪，但是換成近似解，就清楚多了，就是拋物線

因此泰勒多項式，是用于求$x\to x_0$附近的近似函數

例如，求$cos(x)$在0附近的近似：

在$x=0$，每一次更高階的導數，都可以算出泰勒多項式中對應階的常數，非常方便。

如果不是求0點而是求a點附近的近似，只需要把函數寫成$f(x?a)$

如果是算$f(x)=e^x$，則非常簡單，因為他的導數總是讓本身，永遠都是$e^0=1$,下圖：

所以，每一次更高階項加入，函數就會更加近似，而且是全范圍的，理論上可以加無限的項，就叫泰勒級數

并且，這個函數，是全范圍可近似的泰勒級數，可收斂到$e^x$

但是有些級數就不行，例如，$ln(x)$的泰勒級數，在(0,2]在外，是發散的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据挖掘day04-微积分的本质10~11的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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