? ? ? ?剛剛工作的時候, 一個學生問我: 哪一個概念最能體現高等代數的本質? 我當時的回答是矩陣的特征值. 現在再回答這個問題的話, 答案就不一樣了. 在由線性方程組發展出來的理論體系中, 有一個概念始終占據著核心地位, 那就是線性空間(或線性性)的概念. 很多學生都覺得代數比較難, 主要是覺得代數太抽象. 其實數學發展的一般規律是: 從特殊到一般, 從具體到抽象, 最后又回到特殊和具體, 也是螺旋式的. 然而這個過程就像生物進化一樣經歷了前期長時間的發展, 在不斷的量變之后才在某個時間點突變, 實現了質的飛躍. 我們在講授或者學習一個理論的時候, 常常忽略了其發展過程, 直奔結果而去, 這當然會給人一種突兀的感覺而難以接受. 學生們的一個通病是, 背起概念或結論來頭頭是道, 讓他們舉個例子或者講講其中的內涵卻如登蜀道, 所謂知其然不知其所以然. 線性空間的概念其實很自然, 它孕育于古老的數學思想中, 讓我們從經典的例子談起.

Finoancci 數列

? ? ? ?Fibonacci(斐波那契, 1175–1250)是意大利人, 被譽為中世紀最具天分的西方數學家. 他在年輕時游歷地中海沿岸各國, 學習印度、阿拉伯的數學知識, 回國后于 1202 年寫下了著名的《算盤書》, 其中有一個有趣的兔子問題: 兔子在出生一個月后就成年, 兩個月后就有繁殖能力. 每對有繁殖能力的兔子在每個月初都能生下一對小兔子, 假設兔子不死并且每對兔子都有同樣的繁殖能力. 如果第一年初有一對新生兔子, 第二年初將有多少對兔子?

? ? ? ?如果記第 n 個月初的兔子對數為 Fn, 則 F1= F2= 1, 且 n > 3 時滿足遞推關系 Fn= Fn?1+ Fn?2, 這就是所謂的 Fibonacci 數列. 這個數列其實早在公元前200 年就被印度數學家發現了, 前幾項分別為 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,···, 一個有一點難度的問題是它的通項公式是什么?

? ? ? ?曾經就這個問題問過一些學生(有中學生也有大學生), 有些人知道做法, 一般都會首先考慮特征方程. 我會打斷他們, 問為什么要考慮這個方程? 它為什么叫特征方程? 絕大多數學生都回答不出來. 這個問題可以從幾種不同的角度來看, 有初等的也有不那么初等的. 比如可以考慮把遞推關系中的三項化為兩項, 即設 Gn= Fn? aFn?1, 希望遞推關系轉換為 Gn= bGn?1, 自然就需要a,b 滿足 a+b = 1, ab = ?1, 即 a,b 是方程 的根. 這樣, 求出 Gn就可以得到 Fn了.

? ? ? ?換一種體現線性性的思路. 我們把問題簡化一下, 不考慮 Fibonacci 數列的前兩項取值. 為了方便, 我們稱(實)數列 {an} 為類 Fibonacci 數列, 如果我們首先找一些類 Fibonacci 數列. 對于數列, 中學生最熟悉的是等差數列和等比數列. 容易發現, 等差的類 Fibonacci 數列的每一項都是 0, 等比情形更有趣一點. 什么樣的等比數列是類 Fibonacci 數列呢? 不難得到, 即 λ?是方程 的根, 特征方程再一次出現! 于是有兩個解. 因此有兩個滿足條件的等比數列. 實際上我們可以得到更多有類似性質的數列, 任取(實)數 k,l, 數列也滿足條件. 我們稱是與的線性組合. 實際上我們已經得到所有滿足遞推關系的數列了(這并不是顯然的), 其中就包含Fibonacci 數列. 這時候需要利用 Fibonacci 數列的前兩項了, 于是我們有

容易求出 k,l, 即可得 Fibonacci 數列的通項公式了.

線性空間

? ? ? ?上述思路啟發我們應該考慮類 Fibonacci 數列的全體, 記為 V . 這樣, 如果數列, 則(等價地,). 抽象地說, 一個非空集合 V 上如果能定義加法, 這個加法與整數的加法的性質一樣: 有交換律、結合律、零元素與負元素, 并且也能做伸縮, 稱為數乘, 也就是某個數域 F(比如實數域、復數域或有理數域)上的數與 V 中的元素能相乘, 也滿足四條性質, 就稱 V 為 F 上的線性空間.

? ? ? ?除了類 Fibonacci 數列的全體, 常見的線性空間的例子其實很多. 比如中學里比較熟悉的平面向量, 向量可以用平行四邊形法則作加法, 也可以伸縮, 即向量的某個實數倍. 另一個常見的例子孕育在線性方程組 AX = β 的求解中. 如果求出

其一個解為 X0, 則對其任意解 X1, 有 X1? X0是 AX = 0 的解; 反之, AX = 0的任意解 Y , X0+ Y 是 AX = β 的解. 而 AX = 0 的解集具有更好的結構: 若Y1,Y2是其解, 則對任意 k,l, kY1+ lY2也是其解, 也就是說 AX = 0 的解是一個線性空間. 更一般的, 數域 F 上的 m × n 矩陣的全體就是 F 上的線性空間. 其中,?或自然也是線性空間. 在分析課程中也有很多線性空間的例子, 它們通常是由特定函數構成的線性空間.?

? ? ? 線性空間的好處是其中有兩個運算, 這意味著空間中的元素有(線性)關系, 比如我們前面提到的一個元素是另外幾個元素的線性組合. 我們考慮平面向量的全體的時候, 通常會建立直角坐標系, 實際上就是選定兩個互相垂直的單位長度的向量 ε1,ε2, 所有向量的起點都在坐標原點. 這樣, 任何平面向量在兩個坐標軸上都有投影向量, 而投影向量自然是 ε1,ε2的某個實數倍, 于是平面向量都是坐標向量 ε1,ε2的線性組合. 我們稱 ε1,ε2為平面向量空間的一組基, 基的元素個數稱為空間的維數. 同樣, 立體幾何中建立坐標系需要三個坐標向量, 也就是說也就是說空間三維的. 物理上說的時空還要增加時間維度, 故是四維的. 前面提到的類 Fibonacci 數列的全體也是二維的.?就是 mn 維的.

? ? ? ?不難驗證, 線性空間的基(坐標系)有很多選擇, 而維數始終是不變的, 因此, 維數是線性空間的一個重要的不變量, 實際上也是唯一的, 也就是說, 同樣維數的線性空間沒有本質區別. 要理解這一點就需要建立線性空間之間的聯系, 也就是考慮映射.

線性映射與線性變換

? ? ? ?Klein 說: 函數是數學中最重要的概念. 也許把“函數”換成“映射”更準確一點. 在各種不同的數學環境下我們會關注不同性質的映射: 連續、可微、光滑、解析等是拓撲、分析、幾何等學課中常見的; 下面要提到線性映射、以后會涉及的群同態、環同態、域同態、代數同態等是代數學中常見的; 更深的數學中如表示論、代數幾何、概率論中都會考慮一些特定的映射. 這些映射的共同點是它們需要保持所研究的對象的自身的性質或者結構(拓撲結構、微分結構、代數結構等). 特別地, 一個集合到自身的映射稱為變換, 變換是研究一個數學對象本身性質的重要工具.

? ? ? ?首先來看中學比較熟悉的平面向量. 在直角坐標系中, 每個向量被其終點的坐標唯一確定. 這就建立了平面向量的全體 V 到的一一對應 ?. 容易看出 ?是保持加法和乘法運算的, 即

?(α + β) = ?(α) + ?(β), ??(kα) = k?(α), ?α,β ∈ V, k ∈ R,

這樣的映射稱為線性映射. 線性映射如果是一一對應, 則稱其為線性同構. 兩個線性空間之間如能建立線性同構, 則這兩個空間在本質上沒有區別. 利用基(或坐標系)很容易得到兩個線性空間是線性同構的當且僅當它們的維數一樣.

? ? ? ?再如類 Fibonacci 數列的全體 V . 我們知道, 每個這樣的數列實際上由其前兩項唯一確定的, 也就可建立映射

這是 V 到 的一一對應, 容易驗證也是線性同構.?

? ? ? ?用這個觀點來看待線性方程組 AX = β, 其中,

映射 ? : X ? AX 是到的線性映射. 通常它不是一一對應. 如果 AX = β有解, 則 β 在 ? 的像空間中. 此時, 求 AX = β 的解實際上是求 β 在映射 ? 下的原像. 這兒有一個比較燒腦的概念—– 商空間. 簡單地說就是像空間中的元素 β 唯一的確定了定義域中的一個子集(β 的原像 ??1(β)), 于是這些子集的集合 V 與 ?的像空間存在一一對應, 從而 V 是一個線性空間, 稱為 的商空間. 從幾何上看, 所有的原像都是平行的, 它們都平行于 ??1(0), 而 ??1(0) 是一個線性空間, 稱其為定義域的一個子空間. 更一般地, 有線性映射或者子空間就可以自然定義商空間, 這個概念是可以推廣到其他代數環境中的.

特征值

? ? ? ?我們可以用線性映射的觀點來求 Fibonacci 數列的通項公式. 為了方便, 我們約定. 利用矩陣乘法, 不難得到

這樣就有. 也可以利用

且注意到，從而有

? ? ? 記?，于是問題轉化為求或者. 考慮 V 到自身的線性映射(稱為線性變換) ? : X ? AX, 問題轉換為求 ? 對中向量 α 迭代n 次的結果. 對于 α =，自然不好算, 不過我們可以尋找容易計算的元素, 比、例如是否存在元素 α ∈ 使得 ?(α) 為 α 的倍數, 即存在 λ ∈ R 使得 ?(α) = λα? 這就是求線性方程組

的非零解. 根據Cramer 法則, 此時必須有系數矩陣的行列式為零, 即,也就是說 λ 是方程的根. 稱 λ為 ? 或 A 的特征值, 稱為特征多項式, 自然就是特征方程了. 此時有兩個解

代入原方程組分別得到解為

于是. 注意到

則

從而有.

? ? ? ??當然也可以計算 . 注意到, 故有

如果記, 則有AT=TA.?利用 Cramer 法則, 存在唯一的矩陣使得稱 S 為 T 的逆矩陣, 記為. 于是我們有?我們稱 A 與 Λ 相似. 由于 Λ 是對角矩陣, 也稱 A 可對角化. 由此,?.

? ? ? ?當然不是所有的矩陣都可對角化. 比如考慮滿足遞推關系的數列 {an}, 利用上述方法需要考慮矩陣. 這個矩陣的特征值只有 1(二重), 特征向量也只有一個(差別一個常數意義下). 因此, 此類矩陣就要進一步處理, 由此可以發展出 Jordan 標準形理論. 這可能是數學院系的本科生遇到的第一個系統完整的研究課題, 對它的理解可以反映出學生對高等代數內容的程度.

總結

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