**歐拉函數定義
對正整數n，歐拉函數是少于或等于n的數中與n互質的數的數目。例如euler(8)=4，因為1,3,5,7均和8互質。

Euler函數表達通式：

其中p1,p2……pn為x的所有素因數，x是不為0的整數。euler(1)=1（唯一和1互質的數就是1本身）。

歐拉公式的延伸：
一個數的所有質因子之和是Euler(n)*n/2。

歐拉函數的相關性質：
3. 歐拉函數性質

$$\begin{gathered} (1)歐拉函數為積性函數。 \\ (對于數論函數f(n)不恒等于0，當(m,n)=1時，滿足f(mn)=f(m)f(n)，則稱f(n)為積性函數) \\ \phi (mn)=\phi (m)\phi (n)，(m,n)=1 \\ (2)若(m,n)=d，則\phi (mn)=d\phi (m)\phi (n)/\phi (d) \\ (3)若m、n滿足m|n，則\phi (mn)=m\phi (n) \\ (4)若m、n滿足m|n，則\phi (m)|\phi (n)(5)對于質數p，其歐拉函數公式為\phi (p)=p?1 \\ (6)對于質數p，pk的歐拉函數公式為\phi (pk)=(p?1)pk?1 \\ (7)小于等于n且整除n的所有正整數的歐拉函數值之和等于n，即n=\Sigma d|n\phi (d) \\ (8)歐拉定理：若(a,m)=1，則a\phi (m)\equiv 1(modm)。 \\ (9)擴展歐拉定理 \\ ax\equiv axmod\phi (m)(modm)，(a,m)=1 \\ 或ax\equiv ax(modm)，(a,m)=1且x<\phi (m) \\ 或ax\equiv axmod\phi (m)+\phi (m)(modm)，(a,m)=1且x\ge \phi (m) \end{gathered}$$
求歐拉函數的值：

//求歐拉函數板子 //根號n求歐拉函數 注意是 i*i<=x //適用于需要求得歐拉函數少的時候 int getphi(int x) {int tmp=x;for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){while(x%i==0) x/=i; tmp/=i;tmp*=(i-1);}}if(x>1) tmp/=x,tmp*=(x-1);return tmp; } typedef long long ll; bool ok[maxn]; int prime[maxn],phi[maxn],cnt; void sieve() { phi[1]=1;for(ll i=2;i<maxn;++i){if(!ok[i]){prime[cnt++]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=0;j<cnt;++j){if(i*prime[j]>=maxn)break;ok[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//prime[j]是i的因子 prime[j]的素因子項包含在i的素因子項里break; }else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//prime[j]與i互質 phi[i*prime[j]=phi[i]*phi[prime[j]]}} }

解釋：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学--数论-数论函数-欧拉函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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