P1719 最大加權矩形(二維dp)

原題戳這里

題目描述
為了更好的備戰NOIP2013，電腦組的幾個女孩子LYQ,ZSC,ZHQ認為，我們不光需要機房，我們還需要運動，于是就決定找校長申請一塊電腦組的課余運動場地，聽說她們都是電腦組的高手，校長沒有馬上答應他們，而是先給她們出了一道數學題，并且告訴她們：你們能獲得的運動場地的面積就是你們能找到的這個最大的數字。

校長先給他們一個N*N矩陣。要求矩陣中最大加權矩形，即矩陣的每一個元素都有一權值，權值定義在整數集上。從中找一矩形，矩形大小無限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩陣的每個元素屬于[-127,127],例如

0 –2 –7 0
9 2 –6 2
-4 1 –4 1
-1 8 0 –2
在左下角：

9 2
-4 1
-1 8
和為15。

幾個女孩子有點犯難了，于是就找到了電腦組精打細算的HZH，TZY小朋友幫忙計算，但是遺憾的是他們的答案都不一樣，涉及土地的事情我們可不能含糊，你能幫忙計算出校長所給的矩形中加權和最大的矩形嗎？

輸入格式
第一行：n，接下來是n行n列的矩陣。

輸出格式
最大矩形（子矩陣）的和。

輸入輸出樣例
輸入 #1
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
輸出 #1
15
說明/提示
n<=120

題解

#include <iostream> #include <algorithm>using namespace std;const int N = 330;int n, a[N][N], res = -9999999, dp[N];int main(){cin >> n;//前綴和(豎直方向)for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ){cin >> a[i][j];a[i][j] += a[i - 1][j];}}//降維變成一維dpfor (int i = 0 ; i <= n - 1 ; i ++ ){for (int j = i + 1 ; j <= n ; j ++ ){for (int k = 1 ; k <= n ; k ++ ){dp[k] = max(a[j][k] - a[i][k], dp[k - 1] + a[j][k] - a[i][k]);res = max(res, dp[k]);}}}cout << res;return 0; }

• 相對于一維dp，它進行了豎直方向壓縮，于是變成了一維dp問題(P1115)

其實就是比一維dp多了一個前綴和優化的操作hhh

總結

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