1. 常見的傅里葉變換對

1. 常見的傅里葉變換對

1.1. 矩形脈沖相關
1.2. 階躍信號相關
1.3. 沖激信號相關
1.4. 直流信號
1.5. 指數信號
1.6. 符號函數相關

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1.1. 矩形脈沖相關

矩形脈沖信號

[G_ au(t) leftrightarrow au mathrm{Sa} (frac{ au}{2} w)
]

采樣信號

[mathrm{Sa}(w_c t) leftrightarrow frac{pi}{w_c} G_{2w_c}(w)
]

三角脈沖信號

[land_{2 au}(t) leftrightarrow au Sa^2(frac{ au w}{2})
]

【注意】

(G_{ au}(t)) 和 (land_{2 au}(t)) 的下標表示的非0區(qū)間的長度；
三角脈沖信號與矩形脈沖信號的關系：(land_{2 au}(t) = frac{1}{ au} G_{ au}(t) * G_{ au}(t))
通過傅氏變換的 對稱性 和 時域卷積定理 可以證明以上式子。

1.2. 階躍信號相關

單位階躍信號

[u(t) leftrightarrow frac{1}{jw} + pi delta(w)
]

單位斜坡信號

[tu(t) leftrightarrow jfrac{mathrmozvdkddzhkzd}{mathrmozvdkddzhkzdw} left(frac{1}{jw} + pi delta(w)ight) = -frac{1}{w^2} + jpi delta'(w)
]

【注意】

階躍信號不滿足絕對可積的條件，但是引入沖激函數后仍具有傅氏變換；
(u(t)) 是一個積分器，即 (int_{-infty}^{t} f( au) d au = f(t) * u(t))；

1.3. 沖激信號相關

單位沖激信號

[delta(t) leftrightarrow 1\
delta(t-t_0) leftrightarrow e^{-jwt_0}\
]

沖激信號的 (k) 階導數

[delta^{(k)}(n) leftrightarrow (jw)^k
]

當某個信號的傅氏變換存在 常數 或者 正冪次項 （可以帶個相位），則表示該信號包含沖激或沖激導數的形式。

1.4. 直流信號

[1 leftrightarrow 2pi delta(w)\
t^n leftrightarrow 2 pi j^n delta^{(n)}(w)
]

當某個信號的傅氏變換包含 沖激 或其 沖激導數形式，表示給信號可能存在直流分量或者正冪次項。

1.5. 指數信號

（0 < a < 1）

單邊指數信號

因果型：(e^{-at} u(t) leftrightarrow frac{1}{a+jw})

非因果型：(e^{at}u(-t) leftrightarrow frac{1}{a-jw})

雙邊指數信號

偶對稱型：

[egin{aligned}
e^{-a|t|} &= e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t)\
&leftrightarrow frac{2a}{a^2 + w^2}
end{aligned}
]

奇對稱型：

[egin{aligned}
e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t) leftrightarrow frac{-2jw}{a^2 + w^2}
end{aligned}
]

指數調頻信號

[e^{-at}sin(w_0 t)u(t) leftrightarrow frac{w_0}{(a + jw)^2 + w_0^2}\
e^{-at}cos(w_0 t)u(t) leftrightarrow frac{a + jw}{(a + jw)^2 + w_0^2}
]

頻域微分特性

[frac{t^{n-1}}{(n - 1)!}e^{-at}u(t) leftrightarrow frac{1}{(a + jw)^n}
]

諧振信號

虛指數信號

[egin{aligned}
e^{jw_0t} &leftrightarrow 2pi delta(w - w_0)\
e^{-jw_0 t} &leftrightarrow 2pi delta(w + w_0)
end{aligned}
]

三角信號

[egin{aligned}
cos(w_0 t) &= frac{1}{2}(e^{jw_0 t} + e^{-jw_0 t})\
&leftrightarrow pi [delta(w - w_0) + delta(w + w_0)]\
sin(w_0 t) &= frac{1}{2j} (e^{jw_0t} - e^{-jw_0t})\
&leftrightarrow frac{pi}{j}[delta(jw - jw_0) - delta(jw + jw_0)]
end{aligned}
]

調頻信號

[egin{aligned}
f(t)cos(w_0 t) &leftrightarrow frac{1}{2}[F(jw - jw_0) + F(jw + jw_0)]\
f(t)sin(w_0 t) &leftrightarrow frac{1}{2j}[F(jw - jw_0) - F(jw + jw_0)]
end{aligned}
]

1.6. 符號函數相關

[sgn(t) leftrightarrow frac{2}{jw}
]

對稱性

[frac{1}{t} leftrightarrow jpi sgn(w)
]

時域微分特性

[frac{1}{t^2} leftrightarrow pi w sgn(w) = pi |w|
]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的常见的傅里叶变换对的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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