1 (15 分) 設 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空間, $l$ 為 $mathcal{H}$ 上的一實值線性有界泛函, $C$ 是 $mathcal{H}$ 中一閉凸子集, [ f(v)=frac{1}{2}||v||^2-l(v)quad(forall vin C). ] 求證:

(1) 對任意 $mathcal{H}$ 上線性有界泛函 $g$, $exists u_0in mathcal{H}$, 使得 $f(u_0)=g(u_0)$;

(2)$exists u_1in C$, 使得 [ f(u_2)=inf_{vin C}f(v); ]

(3)討論 $g, u_0, u_1$ 之間的關系.

2(15 分) 設 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空間, $T:mathcal{H} o mathcal{H}$ 是線性算子且滿足 [ (Tx,y)=(x,Ty)quad (forall x,yin mathcal{H}). ] 求證:

(1)$Tin mathcal{L}(mathcal{H})$;

(2)$T^*=T$, 此時稱 $T$ 為自共軛算子;

(3)若 $overline{R(A)}=mathcal{H}$, 則對 $forall yin R(A)$, 方程 [ Ax=y ] 存在唯一解.

3(15 分) 證明:

(1)若 $pleq q$, 則 $l^psubset l^q$;

(2)$l^infty$ 不可分;

(3)$l^1$ 不自反.

4(10 分) 設 $varphiin C[0,1]$, $T: L^2[0,1] o L^2[0,1]$ 是由 [ (Tf)(x)=varphi(x)int_0^1varphi(t)f(t) dtquad(forall fin L^2[0,1]) ] 給出的線性算子. 求證:

(1)$T$ 是自共軛算子 (定義見題2);

(2)$exists lambdageq 0$, 使得 $T^2=lambda T$, 由此求出 $T$ 的譜半徑 $r_sigma(T)$.

5(10 分) 設 $mathcal{X}$ 是自反的 Banach 空間, $Asubset mathcal{X}$. 證明:

(1)$A$ 弱列緊的充分必要條件是 $A$ 有界;

(2) 若 $A$ 弱列緊的, 則 $A$ 的凸包 [ co (A) =left{ sum_{i=1}^nlambda_ix_i; sum_{i=1}^n lambda_i=1, lambda_igeq 0, x_iin A, i=1,2,cdots, n, nin mathbb{N} ight} ] 也是弱列緊的.

6(10 分) 證明:

(1)在 Hilbert 空間 $mathcal{H}$ 中, $x_n o x_0$ 的充分必要條件是 [ ||x_n|| o ||x_0||,quad x_nightharpoonup x_0; ]

(2)在 $L^2[0,1]$ 中, $f_n o f$ 的充分必要條件是 [ f_nightharpoonup f,quad f_n^2stackrel{*}{ightharpoonup} f^2. ]

7(8 分) 設 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空間, $mathcal{H}_0$ 是 $mathcal{H}$ 的閉線性子空間, $f_0$ 是 $mathcal{H}_0$ 上的線性有界泛函. 證明: $exists mathcal{H}$ 上的線性有界泛函 $f$, 使得 [ f(x)=f_0(x)quad(forall xin mathcal{H}_0), ] [ ||f||=||f_0||. ]

8(8 分) 設 $mathcal{X}, mathcal{Y}$ 是 Banach 空間, $T$ 是 $mathcal{X}$ 到 $mathcal{Y}$ 的線性算子, 又設對 $forall gin mathcal{Y}^*$, $g(Tx)$ 是 $mathcal{X}$ 上的線性有界泛函, 求證: $T$ 是連續的.

9(9 分) 設 $C[a,b]$ 是連續函數空間, 賦以最大值范數 [ ||x||_infty =sup_{tin [a,b]} |x(t)|quad (forall xin C[a,b]). ] 設 ${x_n}subset C[a,b]$ $xin C[a,b]$. 求證: $x_nightharpoonup x$ 的充分必要條件是 [ lim_{n oinfty}x_n(t)=x(t),quad forall tin [a,b]cap mathbb{Q}, ] 且 [ sup_{ngeq 1}||x_n||_infty<infty. ]

應老師要求, 出了一份泛函分析期末試卷, 主要針對張恭慶泛函分析第二章. 自己寫完后也感覺太難了. 不過還是保留了做個紀念. 下次修改后再發終結版.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[家里蹲大学数学杂志]第036期泛函分析期末试题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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