在學習算法的時間復雜度之前，需要了解下面5條概念

• 什么是算法的時間復雜度？ 針對指定基本運算，計數算法所做的運算次數。
• 什么是基本運算？比較、加法、乘法、置指針、交換…
• 什么是輸入規模？輸入串的編碼長度，通常是數組元素的多少、調度問題的任務個數、圖的頂點數與邊數等。
• 算法的基本運算次數可以表示為輸入規模的函數。
• 給定問題和基本運算，就決定了一個算法類

文章目錄

• • 1 算法的兩種時間復雜度
  • • 1.1 例子：檢索問題
    • • (1)順序檢索算法
      • (2)改進順序檢索算法
  • 2 總結

1 算法的兩種時間復雜度

對于相同輸入規模的不同實例，算法的基本運算次數也不一樣，所以定義了兩種時間復雜度。

最壞情況下的時間復雜度W(n):算法求解輸入規模為n的實例所需要最長的時間

平均情況下的時間復雜度A(n): 在給定同樣規模為n的實例的概率分布下，算法求解這些實例所需要的平均時間。

平均情況下的時間復雜度求解公式為：

$$A(n)=\sum _{I\in S}{P}_I{t}_I$$

其中：S為規模為n的實例集，實例$I\in S$的概率為P_I .算法對實例I執行的基本運算次數為：t_I

在某些情況下，可以假定每個輸入實例的概率相等。

1.1 例子：檢索問題

• 輸入：非降序排列的數組L，元素個數n，需要檢索的數x。
• 輸出：j。如果x在數組L中，j是x首次出現的下標。否則j=0.
• 基本運算：x與L中的元素比較。

(1)順序檢索算法

j=1, 將x與L[j]比較. 如果 x=L[j]，則算法停止，輸出 j；如果不等，則把 j 加1，繼續x與L[j]的比較，如果 j>n，則停機并輸出0。

實例：1 2 3 4 5
x=4，需要比較4次
x=2.5 ，需要比較5次

最壞情況時間復雜度

不同的輸入有:2n+1個，分別對應：

• 最壞情況下時間：W(n)=n；
• 最壞的輸入：x不在L中，或者x=L[n]（還沒有接觸到數據結構中的數組，下表不是從0開始的，是從1開始的）。此時要做n次比較。

平均情況的時間估計

輸入實例的概率分布：假設x在L中的概率是P，且每個位置的概率相等。則由上文的公式得：

$$A(n)=\sum _{i=1}^{n}i\frac{p}{n}+(1?p)n=\frac{p(n+1)}{2}+(1?p)n$$

當p=1/2時，$$A(n)=\frac{n+1}{4}+\frac{n}{2}\approx \frac{3n}{4}$$

注意：上述求解公式中，注意理解(1-p)n 代表如果元素不存在數組中，比較的次數是從頭到尾。即n次，不存在的概率是1-p。

(2)改進順序檢索算法

j=1, 將 x與L[j]比較. 如果 x=L[j]，則算法停止，輸出 j；如果 x >L[j]，則把 j 加1，繼續 x與 L[j]的比較；如果 x < L[j]，則停機并輸出0. 如果 j >n，則停機并輸出 0。

之所以可以優化成這樣是因為該算法的輸入是：非降序排列的數組

實例：1 2 3 4 5
x = 4，需要比較 4 次
x = 2.5，需要比較 3 次

最壞情況時間復雜度：W(n) = n

平均情況時間復雜度

輸入實例的概率分布：假設x在數組L中的每個位置與空隙的概率都相等。設在數組中的概率是p，不在數組L中的概率是1-p。則$\frac{p}{n}=\frac{1?p}{n+1}$

則由公式，計算平均時間復雜度為：

$$A(n)=\sum _{i=1}^{n}i\frac{p}{n}+\frac{1?p}{n+1}n=\sum _{i=1}^{n}i\frac{p}{n}+\frac{p}{n}n$$
$$=\frac{p(1+n)}{2}+p$$

當p=1/2時：

$$A(n)=\frac{n}{4}+\frac{3}{4}\approx \frac{n}{4}$$

很明顯，改進后的檢索算法，時間復雜度減小了很多。算法的性能有所提升。

2 總結

• 本文的學習并不是來學習檢索這個算法也不是來提升它的性能。
• 而是根據檢索算法這個例子，來學習時間復雜度的定義，學會計算時間復雜度。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法设计与分析】03 算法及其时间复杂度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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