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文章目錄

• • 1、暴力搜索方法
  • 2、記憶搜索方法
  • 3、動態規劃方法
  • 4、各種動態規劃方法案例總結：

給定數組arr，arr中所有數都為正數，且不重復，每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，再給定一個正整數aim代表要找的錢數，求換錢有多少種方法？

這道題可以用暴力搜索，記憶搜索，動態規劃，狀態繼續化簡后的動態規劃方法等四種方法！
在面試中出現類似的題目，優化軌跡高度類似！

1、暴力搜索方法

下面先看這道題的暴力搜索方法的過程：

我們認為使用0張5元，讓剩下的貨幣值arr[10,25,1],去組成剩下的錢的過程是一個遞歸的過程。
同理使用1張5元。2張5元…都會有一個遞歸的過程！

定義一個遞歸數組：int p1(arr,index,aim),它的意思是如果用arr[index…N-1]這些面值的錢組成aim，返回總的方法數！！！

public int coins1(int[] arr,int aim) {if(arr==null||arr.length==0||aim<0)return 0;return process1(arr,0,aim); } public int process1(int[] arr,int index,int aim) {int res =0;if(index==arr.length)res = aim==0?1:0;else{for(int i=0;arr[index]*i<=aim;i++) //類似于0張5元到200張5元循環組成aimres += process1(arr,index+1,aim-arr[index]*i);}return res; } 如果已經使用0張5元和1張10元的情況下，后續還需要求p1(arr,2,990) 2:表示剩下錢為arr[2,3]即為arr{25,1} 990:表示要找的剩余的錢數當使用2張5元和0張10元的情況下，后續還是要求p1(arr,2,990) 這樣的重復計算，在暴力搜索中，是非常多的，這會導致暴力搜索的時間復雜度非常高！！！

2、記憶搜索方法

暴力搜索之所以效率低，是因為每次計算后都沒有把計算所得結果保存起來，下次遞歸后還是要重新計算。

而且我們發現在暴力搜索方法中有以下現象：
arr使用不便，index和aim始終在變化?？梢宰宲(index,aim)來代替遞歸過程

還需要新加一個二維數組用于保存每一次遞歸的結果！

代碼如下：

public int coins2(int[] arr,int aim) {if(arr==null||arr.length==0||aim<0)return 0;int[][] map = new int[arr.length][aim+1];return process2(arr,0,aim,map); } public int process2(int[] arr,int index,int aim,int[][] map) {int res =0;if(index==arr.length)res = aim==0?1:0;else{int mapValue = 0;for(int i=0;arr[index]*i<=aim;i++) //類似于0張5元到200張5元循環組成aim{mapValue = map[index+1][aim-arr[index]*i];if(mapValue!=0)res += mapValue==-1?0:mapValue;elseres += process2(arr,index+1,aim-arr[index]*i,map);}}map[index][aim]=res==0?-1:res;return res; }

3、動態規劃方法

如上圖所示，dp[i][j] 表示使用arr[0…i] 貨幣的情況下，組成錢數j有多少種方法。上圖第一列為1代表錢數為0，每一種貨幣都可以組成0（0乘以任意面值的貨幣）。
需要一行一行的計算，從上到下，從左到右，從子問題，到整個問題，最終最右下角的值，也就是dp[N-1][aim]就是我們要求的值：

要求dp[i][j],需要枚舉它上一行左邊的所有值（dp[i-1][1~j]）

記憶搜索與動態規劃的聯系：

那么什么是動態規劃呢？

動態規劃方法的轉化過程：

動態規劃過程的關鍵點：

面試題：
有數組penny，penny中所有的值都為正數且不重復。每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，再給定一個整數aim(小于等于1000)代表要找的錢數，求換錢有多少種方法。

給定數組penny及它的大小(小于等于50)，同時給定一個整數aim，請返回有多少種方法可以湊成aim。

測試樣例：
[1,2,4],3,3
返回：2

class Exchange { public:int countWays(vector<int> penny, int n, int aim) {// write code hereint dp[n][aim+1];//矩陣初始化for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<aim+1;j++){dp[i][j]=0;}}//初始化第一行數值for(int j=0;j<aim+1;j++){if(j%penny[0]==0)dp[0][j]=1;}//初始化第一列數值for(int i=0;i<n;i++){dp[i][0]=1;}//求其他行數值for(int i=1;i<n;i++){for(int j=1;j<aim+1;j++){ for(int k=0;(j-k*penny[i])>=0;k++) {//根據上面分析的公式dp[i][j] += dp[i-1][j-k*penny[i]];} }}return dp[n-1][aim];} };

4、各種動態規劃方法案例總結：

我們上述所講的動態規劃方法其實是還可以經過優化的！！！

下面先來卡一個例子：
案例1
給定一個矩陣m，從左上角開始，每次只能向右或者向下走，最后到達右下角的位置，路徑上所有的數字累加起來就是路徑和，返回所有的路徑中，最小的路徑和，如果給定的路徑如下圖，則最小的路徑和應該為1,3,1,0,6,1,0這條路徑，返回最小值為：12

假設矩陣m的大小為M*N,行數為M，列數為N，生成大小和m一樣的矩陣dp，行數為M，列數為N，dp[i][j]的值等于從左上角，也就是（0,0）
走到（i，j）位置的最小路徑和。

那么除了第一行和第一列的值，其他部分的值為（只能是從上面過來，或者從左邊過來）：

那么我們就可以先從左到右先計算每一行的值，然后從上到下計算每一列的值，最后最右下角的值，就是我們要返回的值了：

案例2

動態規劃的思路如下：

案例3：

則我們可以選擇上述三種情況下最大的值作為返回值。

案例4：

解決方法：

案例5：

那么矩陣最右下角的值就是我們需要返回的值！！！

下一篇文章，將針對上述幾個案例的具體算法題，進行編程驗證！！！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【常见笔试面试算法题12】动态规划算法案例分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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