鴿巢原理是非常著名的原理，生活正用的也很多。

文章目錄

• • 1 簡單鴿巢原理的應用
  • 2 定理（一般性鴿巢原理）
  • • 2.1 應用
  • 3 總結

1 簡單鴿巢原理的應用

定理（鴿巢原理）

• 若有 n 個鴿巢， n+1 個鴿子，則至少有一個巢內有至少兩個鴿子。

例1

假設在一個盒子里面有10雙黑色襪子、 12雙藍色襪子和8雙紅色襪子。那么拿出4只襪子一定可以保證有同色的兩只。

• 每種顏色作為抽屜
• 拿出的襪子數目作為蘋果

例2

在1到10中選取6個數，則其中必定有兩個數的和是11。

例3

一次酒會上有 n 名來賓，其中一些來賓相互握手致意，已知沒有人和自己握手、兩人之間至多只握一次手。證明：一定有兩名來賓的握手次數相同。

• 將來賓作為“蘋果”，握手的次數作為“抽屜”。
• 每名來賓的握手次數最多為 n?1 ， 最少為 0 。
  • 但是不可能既有來賓握手次數為 n?1 又有來賓握手次數為 0 ；
  • 假如有來賓握手次數為 n?1 ， 則說明他與其他任何一名來賓都握過手，那么不可能有來賓沒有與其它人握過手；
• 反過來，假如有來賓握手次數為 0 ， 則說明他與其他任何一名來賓都沒有握過手，那么不可能有來賓與其它人都握過手。
• 因此抽屜的個數最多為 n?1，蘋果的個數為 n，必定有兩個蘋果在同一個抽屜中，也即必定有兩名來賓的握手次數相同

例4

任意12個整數中一定存在兩個整數，其差是11的倍數。

• 任何一個整數模11的余數都只有11種：0, 1, 2, …, 10；于是任意的12個整數中必定存在兩個整數模11的余數相同，它們的差就是11的倍數。

2 定理（一般性鴿巢原理）

• 定理：

設 m1, m2, … , mn 都是正整數， 并有m₁+m₂+…+m_n+n+ 1 只鴿子住進 n 個鴿巢，則至少對某個 i 有： 第 i 個巢中至少有 mi 個鴿子， i=1, 2, …, n。

推論：

m 只鴿子住進 n 個巢， 且 m-1=q*n+r，其中 q 和 r 是整數， 且 0≤r<n 。 則至少有一個巢里有 q+1 只鴿子。

2.1 應用

例5

• 如果小張在15天內作了170道習題，那么他一定有某一天做了至少12道習題。

170-1 = 169 = 11*15+4

3 總結

• 學好數學

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【离散数学中的数据结构与算法】九 鸽巢原理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。