文章目錄

• 1. 信號的能量和功率
• 2. 自變量變換
• • 2.1. 時移和時變
  • 2.2. 周期性
  • 2.3. 奇偶性
• 3. 典型信號與重要的奇異信號
• • 3.1. 指數信號和正弦信號
  • 3.2. 單位階躍信號
  • 3.3. 單位沖激信號
• 4. 基本的系統性質
• • 4.1. 因果性
  • 4.2. 記憶性
  • 4.3. 線性
  • 4.4. 時不變性
  • 4.5. 穩定性
  • 4.6. 可逆性

1. 信號的能量和功率

信號主要分為兩種，連續信號和離散信號，連續信號采樣可以得到離散信號，離散信號也可以恢復成為連續信號。

關于信號本身最重要的概念是能量和功率。
對于電功率一般定義為：
$$\frac{1}{t_2?t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}p(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{t_2?t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{1}{R}{v}^2\mathrm{d}t$$
這個例子給出了我們定義能量和功率的一個思路。由于信號可能是復數，通過平方將為我們提供極大的便利。

隨后考慮去掉常數，更簡單地定義一個信號的能量和功率。

2. 自變量變換

2.1. 時移和時變

高中考點：函數的平移和伸縮變換綜合應用

一般地討論：

• Q1：如何繪制$Ax(at+b)$：先向左平移$b$，然后將橫坐標變為原來的$\frac{1}{a}$，縱坐標變為原來的$A$倍。或者先壓縮，再平移$\frac{b}{a}$
• Q2（DSP）：通過$x[n]$，構成$x[an]$中可能出現無定義或者信息損失。$a\in \mathbb{N},|a|>1$時，比如$a=2$，此時奇數無定義，如果無定義處補齊稱為內插。若$|a|<1$，比如$a=\frac{1}{2}$時，信息發生損失，稱為抽取。

2.2. 周期性

基波周期（Fundamental Period）：最小正周期

思考

• Q1：無基波周期的周期函數？Dirichlet函數
• Q2：周期函數相加不一定是周期函數，比如$\frac{T_1}{T_2}=\pi$，由于無最小公倍數，加和所得函數的周期將趨近無窮大。
• Q3：$f$和$g$是$T$為基波周期的函數，相加所得函數的可能周期為$\frac{T}{m},m\in \mathbb{N}$
• Q4：$f$和$g$分別是$T$和$2T$為基波周期的函數，相加所得函數的可能周期為$\frac{2T}{2m+1},m\in \mathbb{N}$
• 對兩個函數可以構造出更小的基波周期的函數，我們可以反向理解。我們可以通過先構造$\frac{2T}{3}$為基波周期的$H$函數，然后同$f$相加，就可以得到$g$
• 分母不能為偶數，否則利用如上的方法，上下約分之后，得到$g$的周期為$T$，這是矛盾的。

2.3. 奇偶性

$$\begin{gathered} \mathrm{E}\mathrm{v}\{x(t)\}\stackrel{△}{}\frac{x(t)+x(?t)}{2} \\ \mathrm{O}\mathrm{d}\{x(t)\}\stackrel{△}{}\frac{x(t)?x(?t)}{2} \end{gathered}$$

$\delta$函數為偶函數。

3. 典型信號與重要的奇異信號

3.1. 指數信號和正弦信號

復指數在工程上不存在，但為數學的分析提供了便利。

3.2. 單位階躍信號

• 是沖激函數的積分。
• 用于截取正向的信號

3.3. 單位沖激信號

極限定義比較直觀但數學上不易使用。利用Dirac定義和分布函數定義更易使用。
$$\begin{gathered} {\int }_{?\infty }^{\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1 \\ \delta (t)=0,(t=0) \end{gathered}$$

4. 基本的系統性質

4.1. 因果性

不依賴未來（非記憶也可）情況，物理可實現的系統均具有因果性，表示如下：
$$y(t)=\sum _{i=0}^{n}x(t?t_i)$$

其中$t_i\ge 0$則稱為因果系統。

例 $y(t)=x(\frac{t}{3})$不是因果系統，$t<0$時，系統取決于未來的情況。$y(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$當導數通過右導數定義時，就是非因果的。

4.2. 記憶性

記憶性可以看成非因果系統的擴充。

非因果系統一定是記憶系統。這句話反過來說，非記憶系統一定是因果系統。

• 按照定義，非因果系統也稱為記憶系統
• 通常，利用導數定義的系統都會有記憶性（通過積分，可以把過去的情況呈現在當下）
• 實際系統中，記憶直接與能量存儲相關

4.3. 線性

齊次性+可加性

線性的證明通常判別兩個不同如數的輸出是否可以按權加和輸出。

• $反例$
  $$y(t)=x(t)+1$$
  不是一個時不變系統。但是除去常數部分之后，具有線性，因而稱為增量線性系統

• $看似反例的例1$$$y(t)=2y(1)+x(t)$$

代入$t=1$，可求$y(1)=?x(1)$，從而使得原式化簡為：
$$y(t)=?x(1)+x(t)$$
此例是一個線性系統。同上一例不同的是，看似是常數的$x(1)$實際上是與輸入函數相關的。

與輸入關聯和非關聯的輸出成分，分別對應后面講到的零狀態相應和零輸出響應。

4.4. 時不變性

激勵和響應可以成對進行時移而不發生變化。在不同的時間點施加激勵，得到的結果應該只表現為時間的變化，即分別對自變量進行時移和對輸入函數進行時移得到的結果相同。

這一點說明，如果內層有使其加倍的，那么將成為時變的，因為時移也被再映射了。

• $反例$ $y(t)=x(2t)$就是一個時變系統？
  $$x(2t?t_0)=y(t?t_0)=x(2(t?t_0))=x(2t?2t_0)$$
  等號左邊對應于激勵的時移，在右邊發現與響應的時移并不對等。

4.5. 穩定性

使系統傾向于收束。

穩定性判據：BIBO

也可以利用微分方程定性分析穩定。

4.6. 可逆性

可以建立激勵信號和響應信號的一一對應

• 多個激勵信號通過不同程度時移進行線性組合時，容易構造出特定的時間特性的函數進行
• 不丟失定義域（原系統利用內插進行定義）

對應這兩個問題，有以下兩組反例：

• $反例1$ $y(t)=x(t)+x(1?t)$，反例就可以是利用兩個時移激勵的對稱特性構造，如$u(t)$和$u(1?t)$
• $反例2$
  • $y(t)=x(2t)$是可逆的
  • $y[n]=x[2n]$是不可逆的
  • $y(t)=x(t)(a+\cos (\omega t))$，無論$x$是什么，只要$|a|\le 1$則一定會出現多個零點，此時是不可逆的。

    因為定義域上部分點數據丟失，這些點上即便激勵不同響應都相同且為0。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的信号课组（一） 信号与系统 Review 1 信号与系统综述的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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