差分方程預(yù)測模型

差分方程人口預(yù)測模型

一、名詞和符號說明

名詞解釋：

(1)擬合: 對于某個變化過程中的多個相互依賴的變量，可建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，用于分析預(yù)報決策或控制該過程.對于兩個變量可通過用一個一元函數(shù)去模擬這兩個變量的取值.用不同的方法可得到不同的模擬函數(shù).下面使用圖表介用Mathematica做曲線擬合。

(2)差分方程:含有自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)差分的函數(shù)方程，稱為差分方程。

(3)迭代法:是牛頓在17世紀(jì)提出的一種求解方程f(x)=0.多數(shù)方程不存在求根公式，從而求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。 設(shè)r是f(x)=0的根，選取x0作為r初始近似值，過點(,f())做曲線y=f(x)的切線L，L的方程為,求出L與x軸交點的橫坐標(biāo) ,稱為r的一次近似值，過點(,f())做曲線y=f(x)的切線，并求該切線與x軸的橫坐標(biāo)稱為r的二次近似值，重復(fù)以上過程，得r的近似值序列{Xn},其中,稱為r的n+1次近似值。上式稱為牛頓迭代公式。 第 k年i歲的女性總?cè)藬?shù)

女性人口的(按年齡)分布向量

第k年i歲的女性生育率

第k年i歲的女性死亡率

第 k年i歲的女性存活率

i歲女性的生育模式 k年總和生育率(控制人口數(shù)量的主要參數(shù))

A 存活率矩陣

B 生育模式矩陣

二、模型假設(shè)

針對本題中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)的代表意義和建立模型時能夠使問題理想化、簡單化，我們應(yīng)用已知數(shù)據(jù)，將時間離散化, ,因此本模型考慮女性人口的發(fā)展變化假設(shè)女性最大年齡為歲,,1年為1個時段，不考慮同一時間間隔內(nèi)人口數(shù)量的變化不考慮生存空間等自然資源的制約,不考慮意外災(zāi)難等因素對人口變化的影響生育率僅與年齡有關(guān),存活率也僅與年齡有關(guān)我們來建立一個離散的人口增長模型, 女性人口的發(fā)展變化Leslie人口模型,用差分方程:第k年i歲的女性生育率; : k年總和生育率，或生育胎次;

:第k年i歲的女性死亡率; :第 k年i歲的女性存活率

: i歲女性的生育模式

，

用表示女性人口的(按年齡)分布向量,記A=

B=則模型應(yīng)表示為：

=A+B

利用matlab軟件編程求解，程序如下：

c=zeros(91);

d1=[ … … ];

for i=1:91

for j=1:91

if i==j

c(i+1,j)=d1(i)

end

end

end

A=c1

a1=[ … … ];

b=zeros(91);

for i=1:35

b(1,i+15)=a1(i)

end

B=b1;

=[ … …] %2001對應(yīng)初始值

y=zeros(91,n)%n表示要預(yù)測年數(shù)

y(:,1)= ；

for k=1:19

y(:,k+1)=A*y(:,k)+(k)*B*y(:,k)

end

(一)用此模型預(yù)測中短期女性人口變化趨勢

考慮到男女性別比例波動不大，所以女性人口數(shù)量的發(fā)展趨勢可以預(yù)測全國總?cè)丝诘陌l(fā)展趨勢。

對所給數(shù)據(jù)進行處理，發(fā)現(xiàn)近期(k)變化很小，這里我們?nèi)?#61;/5即：市：=1；鎮(zhèn)：=1.254；鄉(xiāng)：=1.649，代入模型方程，得：

x(k)=……………………………………………………………(3.3-1)

x(k)=………………………………………………………(3.3-2)

x(k)=………………………………………………………(3.3-3)

分別代入k=20,即可算出市、鄉(xiāng)、鎮(zhèn)從2001年到未來20年的預(yù)測數(shù)值。

分別取2002、2004年的數(shù)據(jù)擬合，情況如下：

圖3-1 2002、2004擬合趨勢圖

由上圖可看出，擬合情況較好，此模型可用于短期預(yù)測，預(yù)測趨勢圖如下：

圖3-2

預(yù)測數(shù)據(jù)表為：

表3-1

年份20012005201020152020女性人口數(shù)5.97E+086.37E+086.83E+087.34E+087.74E+08通過上面的預(yù)測數(shù)據(jù)和圖像，可看出2020年之前女性人口呈增長趨勢，全國人口總數(shù)也呈增長趨勢。

(二)長期預(yù)測

進行長期預(yù)測時，考慮到國家計劃生育一對夫婦只生一個孩子的政策，取=1,則模型可化簡為 = 其中為2001年女性人口分布向量。

圖3-3模型檢驗擬合圖

利用數(shù)據(jù)來檢驗我們建立的差分方程模型，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)基本吻合，說明模型是很準(zhǔn)確的，可以用此模型進行長期預(yù)測。

利用方程預(yù)測的女性總?cè)丝跀?shù)據(jù)如下：

表3-2

年份20012005201020152020202520302035204020452050女性總?cè)丝?/p>

總結(jié)

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