樣本點

一個隨機事件出現的可能的結果叫做樣本點。

類比平面幾何，線、面、體也是由點組成的集合，研究的是點線面關系及性質，同樣樣本點也是組成事件（集合）的材料，是集合的基本元素，把這些樣本點用各種形狀組合起來形成集合，站在集合論的基礎上討論研究。

代數

設是樣本空間，是由的一些子集所構成集合簇，如果滿足如下條件：

?；

?若，則；

?若，則?；

則稱為代數。

代數

設是樣本空間，是由的一些子集所構成集合簇，如果滿足如下條件：

?；

?若，則；

?若，則?；

則稱為代數。

容易證明，如果樣本空間是有窮的，則它的任何代數也必是代數。

可測空間

把任一樣本空間，以及由的子集所組成的一個代數寫在一起，記為，稱為具有代數結構的樣本空間，或簡稱為可測空間。

概率

設是可測空間，對每一集，有一實數與之對應，記為（因此在上定義了一個集函數），如它滿足下面三個條件：

?對每一，有；

?對必然事件，有；

?（完全可加性）對任意，，恒有

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

則稱實值集函數為上的概率，就稱為事件的概率。

上面幾個概念的層次關系是：設是一樣本空間，為的代數，為上的概率，我們稱具有上述結構的樣本空間為概率空間，記為。

隨機變量

設是一個概率空間，對于樣本點，是一個取實值的單值函數；若對于任一實數，是一隨機事件，亦即，則稱為隨機變量。

一個隨機事件的樣本點可能是數量性質的，也可能是非數量性質的，為數學研究方便把樣本點進行數值化，即在樣本點到建立一個映射。

另外需要注意下面兩個概念和上面的區別與聯系：

測度空間

在是一個可測空間的基礎上，令且滿足：

（非負性）對任意的，有；

（規范性）；

（可列可加性）對任意的兩兩不相交的集合，有；

則稱為可測空間上的測度，且稱為測度空間。

容易證明，概率空間是一種特殊測度空間，就是實值集函數的值范圍是，另外測度空間是在可測空間上定義一個測度，可測空間上還沒有定義測度。

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參考

《概率論及數理統計》第4版 中山大學；

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论的公理结构的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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