歸并排序算法

設歸并排序所花時間為 $T(N)$，其中 $N$ 為輸入數據長度

1、當 n == 1 時，返回，時間復雜度 $1$

2、排序好左邊 $\frac{N}{2}$ 個元素，時間復雜度 $T(N/2)$

3、排序好右邊 $\frac{N}{2}$ 個元素，時間復雜度 $T(N/2)$

4、歸并排序好的左邊和右邊元素，時間復雜度 $\theta (N)$

根據上述算法有
$$T(N)=\{\begin{array}{rlr}& 1& N=1\\ & 2T(N/2)+\theta (N)& N>1\end{array}$$
其中 $\theta$ 表示階，$\theta (N)$ 表示一階，可以使用 $cN$ 表示，其中 $c$ 為常數。

遞歸樹

使用遞歸樹對公式進行分解如下圖所示：

最終可以分解為一個高度為 $\lg N$，每一層之和為 $cN$ 的二叉遞歸樹，$T(N)$ 即為樹上每個節點之和，所以：
$$T(N)=cN\lg N=\theta (N\lg N)+\theta (N)$$
所以歸并排序的時間復雜度為 $\theta (N\lg N)$。

總結

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