樹

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樹的表示方式有

?樹形圖表示法:邏輯結構描述直觀

?嵌套集合表示法（文氏圖表示法）

?凹入表示法

?廣義表表示法

二叉樹

二叉樹是另一種重要的樹形結構，是度為2的有序樹，它的特點是每個結點至多有兩棵子樹。

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二叉樹的遞歸定義

二叉樹是n(n≥0)個結點的有限集。它或者是空集(n=0)，或者同時滿足以下兩個條件：

? ? (1) 有且僅有一個根結點；

? ? (2) 其余的結點分成兩棵互不相交的左子樹和右子樹。

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二叉樹的特點

如果二叉樹的根結點只有一棵子樹，必須明確區分它是左子樹還是右子樹，因為兩者將構成不同形態的二叉樹。

注意：二叉樹不是樹的特例。它們是兩種不同的數據結構。

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二叉樹舉例

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二叉樹的性質

性質1：在二叉樹的第i層上至多有2i-1 個結點。 (i≥1)

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性質2：深度為 k 的二叉樹上至多含 2k-1 個結點（k≥1）

證明:

性質3：對任何一棵二叉樹，若它含有n0個葉子結點、n2個度為2的結點，則必存在關系式：n0= n2+1。

即 葉子結點數＝度2結點 + 1

性質4：具有n個結點的完全二叉樹的深度為 [log2n]?+1? 下取整

證明：

性質5：

若對含 n 個結點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號為 i 的結點：

? ? (1) 若 i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親， 否則，編號為 ?i/2? 的結點為其雙親結點；

? ? (2) 若 2i>n，則該結點無左孩子，否則，編號為 2i 的結點為其左孩子結點；

? ? (3) 若 2i+1>n，則該結點無右孩子結點， 否則，編號為2i+1 的結點為其右孩子結點。

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兩類特殊的二叉樹：

滿二叉樹

指的是深度為k且含有2^k - 1個結點的二叉樹。

特點：

（1）每一層上結點數都達到最大

（2）度為1的結點n1=0，樹葉都在最下一層。

滿二叉樹結點層序編號方法：

從根結點起從上到下逐層（層內從左到右）對二叉樹的結點進行連續編號。

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?完全二叉樹

樹中所含的 n 個結點和滿二叉樹中編號為 1 至 n 的結點一一對應。

完全二叉樹的特點：

1、滿二叉樹是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹；

2、在完全二叉樹中，若某個結點沒有左孩子，則它一定沒有右孩子，即該結點必是葉結點。

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?二叉樹的存儲結構：

?1．順序存儲結構

用一組地址連續的存儲單元，以層序順序存放二叉樹的數據元素，結點的相對位置蘊含著結點之間的關系。

如完全二叉樹

非完全二叉樹，存儲時必須將相應的位置空出來，使存放的結果符合完全二叉樹的形狀。

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所以，二叉樹順序存儲結構僅適用于完全二叉樹。

若存儲非完全二叉樹時有可能對存儲空間造成極大的浪費：

在最壞的情況下，一個深度為K且只有K個結點的右單支樹需要2K-1個結點存儲空間。

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二叉樹的鏈式存儲結構

根據二叉樹的非線性結構的特點，常用鏈式存儲方式來表示二叉樹。

二叉樹的鏈式存儲結構有3種，它們是二叉鏈表、三叉鏈表和線索鏈表。

?二叉鏈表存儲結構

把每個結點分成三個域：一個域存放結點本身的信息，另外兩個是指針域，分別存放左、右孩子的地址。每個結點的結構表示為：

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?二叉鏈表的C 語言類型描述如下:

typedef char TElemType; typedef struct Node { TElemType data;struct Node *lchild, *rchild; } BiTNode, *BiTree;

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三叉鏈表（帶雙親指針的二叉鏈表）

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轉載于:https://www.cnblogs.com/lisen10/p/10850336.html

總結

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