如何理解“堆”

堆排序是一種原地的、時間復雜度為 O(nlogn) 的排序算法

堆的兩個特點：

一顆完全二叉樹

堆中每個節點都必須大于等于（或者小于等于）其左右子節點的值；

對于每個節點的值都大于等于子樹中每個節點值的堆，叫做“大頂堆”。對于每個節點的值都小于等于子樹中每個節點值的堆，叫做“小頂堆”。

如何實現一個“堆”

如何存儲一個堆

完全二叉樹比較適合用數組來存儲。用數組來存儲完全二叉樹是非常節省存儲空間的。因為不需要存儲左右子節點的指針，單純地通過數組的下標，就可以找到一個節點的左右子節點和父節點。

堆都支持哪些操作

堆中插入一個元素

插入元素放到最后，需要進行堆化操作：堆化實際上有兩種，從下往上和從上往下。這里我先講從下往上的堆化方法——順著節點所在的路徑，向上或者向下，對比，然后交換

public class Heap {private int[] a; // 數組，從下標1開始存儲數據private int n; // 堆可以存儲的最大數據個數private int count; // 堆中已經存儲的數據個數public Heap(int capacity) {a = new int[capacity + 1];n = capacity;count = 0;}public void insert(int data) {if (count >= n) return; // 堆滿了++count;a[count] = data;int i = count;while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化swap(a, i, i/2); // swap()函數作用：交換下標為i和i/2的兩個元素i = i/2;}}}

刪除堆頂元素

思路一：刪除堆頂元素之后，就需要把第二大的元素放到堆頂，那第二大元素肯定會出現在左右子節點中。然后我們再迭代地刪除第二大節點，以此類推，直到葉子節點被刪除。此方法會出現數組空洞

思路二：把最后一個節點放到堆頂，然后利用同樣的父子節點對比方法。對于不滿足父子節點大小關系的，互換兩個節點，并且重復進行這個過程，直到父子節點之間滿足大小關系為止。這就是從上往下的堆化方法。

實現代碼：

public void removeMax() {if (count == 0) return -1; // 堆中沒有數據a[1] = a[count];--count;heapify(a, count, 1); }private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化while (true) {int maxPos = i;if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;if (maxPos == i) break;swap(a, i, maxPos);i = maxPos;} }

如何基于堆實現排序？

這種排序方法的時間復雜度非常穩定，是 O(nlogn)，并且它還是原地排序算法。堆排序的過程分為2步驟：

1、建堆

思路一：數組中包含 n 個數據，但是我們可以假設，起初堆中只包含一個數據，就是下標為 1 的數據。然后，我們調用前面講的插入操作，將下標從 2 到 n 的數據依次插入到堆中。這樣我們就將包含 n 個數據的數組，組織成了堆。此方法從前往后處理數組數據，并且每個數據插入堆中時，都是從下往上堆化。不推薦

思路二：從后往前處理數組，并且每個數據都是從上往下堆化。以下圖示：

實現代碼

private static void buildHeap(int[] a, int n) {for (int i = n/2; i >= 1; --i) {heapify(a, n, i);} }private static void heapify(int[] a, int n, int i) {while (true) {int maxPos = i;if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;if (maxPos == i) break;swap(a, i, maxPos);i = maxPos;} }

對下標從 2n? 開始到 1 的數據進行堆化，下標是 2n?+1 到 n 的節點是葉子節點，我們不需要堆化。實際上，對于完全二叉樹來說，下標從 2n?+1 到 n 的節點都是葉子節點。

建堆的時間復雜度就是 O(n)。

2、排序

• 建堆結束之后，數組中的數據已經是按照大頂堆的特性來組織的。數組中的第一個元素就是堆頂，也就是最大的元素。我們把它跟最后一個元素交換，那最大元素就放到了下標為 n 的位置。
• 這個過程有點類似上面講的“刪除堆頂元素”的操作，當堆頂元素移除之后，我們把下標為 n 的元素放到堆頂，然后再通過堆化的方法，將剩下的 n?1 個元素重新構建成堆。堆化完成之后，我們再取堆頂的元素，放到下標是 n?1 的位置，一直重復這個過程，直到最后堆中只剩下標為 1 的一個元素，排序工作就完成了。

堆排序過程代碼：

// n表示數據的個數，數組a中的數據從下標1到n的位置。 public static void sort(int[] a, int n) {buildHeap(a, n);int k = n;while (k > 1) {swap(a, 1, k);--k;heapify(a, k, 1);} }

分析一下堆排序的時間復雜度、空間復雜度以及穩定性

1、整個堆排序的過程，都只需要極個別臨時存儲空間，所以堆排序是原地排序算法。

2、堆排序包括建堆和排序兩個操作，建堆過程的時間復雜度是 O(n)，排序過程的時間復雜度是 O(nlogn)，所以，堆排序整體的時間復雜度是 O(nlogn)。

3、堆排序不是穩定的排序算法，因為在排序的過程，存在將堆的最后一個節點跟堆頂節點互換的操作，所以就有可能改變值相同數據的原始相對順序。

解釋：在前面的講解以及代碼中，我都假設，堆中的數據是從數組下標為 1 的位置開始存儲。那如果從 0 開始存儲，實際上處理思路是沒有任何變化的，唯一變化的，可能就是，代碼實現的時候，計算子節點和父節點的下標的公式改變了。如果節點的下標是 i，那左子節點的下標就是 2?i+1，右子節點的下標就是 2?i+2，父節點的下標就是 2i?1?。

解答標題

第一點，堆排序數據訪問的方式沒有快速排序友好。對于快速排序來說，數據是順序訪問的。而對于堆排序來說，數據是跳著訪問的。堆排序中，最重要的一個操作就是數據的堆化。比如下面這個例子，對堆頂節點進行堆化，會依次訪問數組下標是 1，2，4，8 的元素，而不是像快速排序那樣，局部順序訪問，所以，這樣對 CPU 緩存是不友好的。

第二點，對于同樣的數據，在排序過程中，堆排序算法的數據交換次數要多于快速排序、

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的28 | 堆和堆排序：为什么说堆排序没有快速排序快？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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