文章目錄

• 前言
• 良序性
• **整除**相關定義：
• • Theorem 0.1 Division Algorithm
  • Theorem 0.2 GCD is a Linear Combination
  • • Corollary
  • Euclid's Lemma
  • Theorem 0.3 Fundamental Theorem of Arithmetic
• 模算術
• • 一個有趣的例子
• 復數
• • Theorem 0.4 Properties of Complex Numbers
• 數學歸納法
• • Theorem 0.5 First Principle of Mathematical Induction
  • Theorem 0.6 Second Principle of Mathematical Induction
  • 兩種歸納法的理解
  • • 另一個有趣的例子
• 等價關系
• • 定義
  • 記號
  • 例子
  • 劃分Parititon
  • Theorem 0.7 Equivalence Classes Partition
• 函數與映射
• • **Definition Function (Mapping)**
  • 映射符號
  • 函數的復合
  • 函數的一種分類
  • 函數的一些特性

前言

想系統地學習一下近世代數，參考書是Joseph-Gallian的《Contemporary Abstract Algebra》，希望花半年時間讀完，在博客里做筆記督促自己。

很多抽象代數的關注點在整數和集合的特性，為未來的學習方便，這節介紹一些基礎的結論。

良序性

良序性（視為公理）：
任何正整數的非空集合都包含一個最小的數。

整除相關定義：

對于$s,t\in Z$

• $t$ ($t=0$) is a divisor of $s$ if $?u\in Z,s=tu$, we write $t\mid s$; we read “$t$ divides $s$”，即$t$整除$s$，或$t$是$s$的約數。反之，記為$t?s$
• 質數：定義為只有1和它本身兩個約數的數。
• $s$ is a multiple of $t$ if $?u\in Z,s=tu$; 倍數，等價于$t\mid s$
• $\gcd (a,b)$：$a$和$b$的最大公約數
• 互質(relatively prime)：$\gcd (a,b)=1$
• $\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(a,b)$：$a$和$b$的最小公倍數

Theorem 0.1 Division Algorithm

$?a,b\in Z,b>0\to ?!q,r\in Z,a=bq+r\wedge 0\le r<b$

約定符號$?!$表示存在唯一的元素。

定理含義：這個定理描述了整數相除的結果，$a$是被除數，$b$是除數，$q$是商，$r$是余數。這里還限制了除數大于0，余數非負且余數必須小于除數，這樣才能保證商和余數的唯一性。

證明：考慮一個集合$S=\{a?bk\mid k\in Z,a?bk\ge 0\}$

顯然，集合是非空的，這很好證明，著需要選取適當的$k$使得$a?bk\ge 0$即可，這里可以簡單取$k=?b|a|$

如果$0\in S$，那么$b\mid a$，此時必有$r=0,q=a/b$，這取法是唯一的；

如果$0\in /S$，根據良序性，集合必然存在一個最小的正數，不妨設為$r$，此時有$a=bq+r,r\ge 0$，此時只需要證明$r<b$即可。如果$r\ge b$，很容易確定，$r$并非$S$中最小的數，只需將$k$增加1 ($a>0$的情況，$a<0$則相反），那么必有$r?b\in S$。

QED

Theorem 0.2 GCD is a Linear Combination

$?a,b\in Z,a=0,b=0\to ?s,t\in Z,\gcd (a,b)=as+bt$

$\gcd (a,b)=\min \{as+bt\mid as+bt>0\}$

定理含義：這個定理說明，兩個整數的最大公約數可以寫成這兩個數的線性組合，且最大公約數是這兩個數的所有線性組合中，最小的正整數。

證明：考慮集合$S=\{am+bn\mid m,n\in Z\wedge am+bn>0\}$

顯然集合非空，選取$m$和$n$分別與$a$和$b$同號即可。

根據良序性，這個集合必然存在最小的元素，不妨設為$d=as+bt$，這里$s,t$是集合取最小時確定的數。

根據定理內容，$d=\gcd (a,b)$，我們證明這個即可。

根據Theorem 0.1，直接考慮$a$除以$d$，必有$a=dq+r,0\le r<d$，如果$r=0$，$r=a?dq=a?(as+bt)q=a?asq?btq=a(1?sq)+b(?tq)\in S$，這說明$d$并非$S$中最小的數（因為此時$r$是$a$和$b$的線性組合），產生矛盾，因此必有$r=0\to d\mid a$，同理，$d\mid b$，因此$d$是$a,b$的公約數。

假設存在比$d$更大的公約數$d^{\prime }$，必有$?h,k\in Z,\mathrm{s}.\mathrm{t}.a=d^{\prime }h,b=d^{\prime }k$，因此$d=as+bt=a{d}^{\prime }h+b{d}^{\prime }k=d^{\prime }(ah+bk)$，顯然$d^{\prime }\mid d$，$d$肯定是更大的數。推出矛盾，因此$d=\gcd (a,b)$

Corollary

$a$和$b$互質等價于$?s,t\in Z\mathrm{s}.\mathrm{t}.as+bt=1$

Euclid’s Lemma

$p\mid ab\to p\mid a\vee p\mid b$ if $p$ is a prime.

定理含義：質數如果是兩個數乘積的約數，那么這個質數是這兩個整數之一的約數。

證明：顯然，分情況討論下即可。

$p\mid ab\wedge p?a\to 1=as+pt\to b=asb+ptb$，$p$是方程右側的約數，自然是$b$的約數

Theorem 0.3 Fundamental Theorem of Arithmetic

大于1的整數，要么是質數，要么是質數之積，且質因數分解方式唯一。

定理含義：算術基本定理，主要闡明，整數的質因數分解唯一。

證明：存在性的證明使用了強數學歸納法: 點擊跳轉 ;Euclid’s Lemma保證了分解的唯一性。

模算術

模是一種計數方法的抽象。例如，今天是星期3，23天后是星期幾呢？只需要讓23對7取余數，得2，所以答案是星期5.

模算術思想很簡單，但在數學和計算機科學中很重要。

根據 Theorem 0.1 有$a=qn+r$，我們記$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=r$

有一些顯而易見的結論值得列出：

• $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=b\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{f}.n\mid (a?b)$
• 兩個數和的模，積的模，都可以簡化為先計算模，再加（乘），再取模。例如$27\times 36\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11=5\times 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11$

一個有趣的例子

嘗試證明：$x^2?y^2=1002$沒有整數解。

證明：首先我們知道$1002\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=2$

對于任何整數，模4的結果只有0，1，2，3，而對于任何整數平方模4的結果，則只可能0，1，那很顯然，$x^2?y^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$的結果無論如何都不可能是2。

復數

復數是具有形式$a+bi,a,b\in R,i=\sqrt{?1}$的數。

極坐標表示$r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$

Theorem 0.4 Properties of Complex Numbers

• 對加法封閉，$?a,b\in C\to a+b\in C$
• 對乘法封閉
• 當除數不等于0時，對除法封閉
• 非0復數的逆存在
• $(r(\cos \theta +i\sin \theta ){)}^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$

數學歸納法

Theorem 0.5 First Principle of Mathematical Induction

$S$ is a set and $a\in S$，Suppose $S$ has the property whenever some integer $n\ge a$ belongs to $S$, then $n+1$ also belong to $S$. Then, $S$ contains every integer greater than or equal to $a$.

定理含義：說的是，如果集合$S$有一個性質，即有一些大于等于$a$的整數$n$屬于$S$的話，$n+1$必然也屬于$S$. 那么，$S$必然包含所有大于等于$a$的整數。

Theorem 0.6 Second Principle of Mathematical Induction

$S$ is a set and $a\in S$，Suppose $S$ has the property that $n\in S$, when $?m\in S\mathrm{s}.\mathrm{t}.a\le m<n,m\in S$ .Then, $S$ contains every integer greater than or equal to $a$.

定理含義：這里歸納仍然是需要兩個條件，1. $a\in S$；2.如果假定$a\le m<n$的所有$m$都屬于$S$，可推出$n\in S$

兩種歸納法的理解

首先說明一下，上述兩個定理的表述我是抄的書上的，更合適的說法應該不是自然數屬于集合$S$，而是自然數具有某種特定的性質。

第一種歸納法是我們常見的那種，即存在一個起始點$a$具有性質$p$，**我們假定$n$也具有性質$p$，可推出$n+1$也具有性質$p$**時，就可以得出結論：任何大于等于$a$的整數都具有性質$p$

第二種歸納法也叫強歸納法，區別在第二個條件，可以使用$a$到$n?1$的所有整數來推出$n$，它假設的條件是更多的。

第二數學歸納法再某些情況下更好用，這里給出之前算術基本定理的證明：

約定，所有質數和質數之積的集合是$S$

顯然，$2\in S$，假定所有整數$?k\in Z,\mathrm{s}.\mathrm{t}.2\le k<n\to k\in S$，對于$n$來說，要么是質數屬于$S$，要么是合數可寫成$ab,\mathrm{s}.\mathrm{t}.1<a<n\wedge 1<b<n$，顯然$a\in S\wedge b\in S$，因此$n\in S$

顯然，通過這個證明，可以更深刻理解這兩種歸納方式的別，強歸納法能在假設中把兩個（甚至多個）變量$a$和$b$賦予性質$p$，而第一種歸納方式僅假定了一個數。

另一個有趣的例子

給定任意面值5美元的硬幣和面值8美元的硬幣，找到這兩種硬幣最大的不可表示的總面值。

分析：很明顯，題目就是求$5$和$8$的非負整數系數的所有線性組合所不能表達的最大數，用符號表示即是：$\max \{Z?\{5a+8b\mid a,b\in Z\mathrm{s}.\mathrm{t}.a\ge 0,b\ge 0\}\}$

很容易可以從小到大列出可表達的面值：

$5=5\times 1+8\times 0$

$8=5\times 0+8\times 1$

$10=5\times 2+8\times 0$

$13=5\times 1+8\times 1$

$?$

$26=5\times 2+8\times 2$

$28=5\times 4+8\times 1$

$29=5\times 1+8\times 3$

$?$

$39=5\times 3+8\times 3$

$40=5\times 8+8\times 0$

似乎從$27$后面所有數都有正確的表示，我們可以考慮能否證明所有大于$27$的數都可以表示為$5a+8b$的形式。

約定下面的$a,b$服從約束：$a,b\in Z\mathrm{s}.\mathrm{t}.a\ge 0,b\ge 0$

首先用第一數學歸納法：

顯然$28$可以表示為$5a+8b$的形式，那么假設大于$28$的一個數$n=5a+8b$，顯然，$a\ge 3\vee b\ge 3$，因為如果不滿足此條件，將有$n\le 28$

接下來我們有：$n+1=5a+8b+(?3?5+2?8)=5?(a?3)+8?(b+2)$

$n+1=5a+8b+(5?5?3?8)=5?(a+5)+8?(b?3)$

顯然，遞推可以繼續，QED

然后使用第二數學歸納法：

首先，$28$滿足條件，我們很容易驗證$28,29,30,31,32$滿足條件，那么對于$n>32$，我們假定所有$28\le k<n$滿足條件，現在要證明$n$滿足條件，很簡單，由于$n?5$滿足，$n$自然滿足（只需要把$a$系數增加$1$就是$n$的表示）。QED

等價關系

事物的關系是復雜的，也取決于我們看待問題的角度，兩件事物在一種角度下是完全不同的，但可能在另一種情況下是等價的。一個典型的例子是3和8當然是不同的，但在模5運算下確實相同的。數學中等價關系用于精確地區分各種等價和差異。

定義

An equivalence relation on a set $S$ is a set $R$ of ordered pairs of elements of $S$ such that

$(a,a)\in R?a\in S$

$(a,b)\in R\to (b,a)\in R$

$(a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\to (a,c)\in R$

定義理解：等價關系需要對一個集合聲明和定義（on a set $S$），它本身是一個有序二元對集合$R$，二元對中的每個元素都是$S$的元素。且等價關系滿足反身性，對稱性和傳遞性。

記號

如果$S$是定義等價關系的集合，$R$表示等價關系，$a,b\in S$

• $(a,b)\in R$可記為$aRb$，也可記為$a～b$
• $[a]=\{x\in S\mid x～a\}$，$a$的等價類或含有$a$的等價類

例子

這里僅列出幾個重要的例子：

模$n$同余：

$n$是正整數，$a,b\in Z$，$a～b\mathrm{i}\mathrm{f}a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，模$n$同余定義了一種等價關系，等價類可以表示為$[a]=\{a+kn\mid k\in Z\}$。這個等價關系很容易驗證滿足三條件。

$S=\{(a,b)\mid a,b\in Z,b=0\}$，在$S$上定義等價關系：$(a,b)～(c,d)\mathrm{i}\mathrm{f}ad=bc$，這個等價關系的動機來自于分數，實際上表示分數相等$a/b=c/d$。

劃分Parititon

集合的劃分指的是集合$S$分為幾個不相交的，并集為$S$的子集。

定義劃分的目的是為了引入等價類的劃分方式。

Theorem 0.7 Equivalence Classes Partition

集合$S$上定義的一個等價關系的等價類構成集合$S$的一個劃分。反之也成立，對于集合$S$的任何劃分，都可以據此定義一個等價關系。

定理理解：這個定理實際上說明等價關系的定義和集合劃分是等效的操作。

證明：這個定理的反之這里就不作證明了，因為可以用比較無腦的方式給出，直接定義等價關系就是屬于某個劃分后的子集就行。

對于等價關系如何形成劃分的證明，要證明等價類無交集且并集是$S$。

首先等價類肯定無交集，因為傳遞性導致如果兩個等價類有交集，這兩個等價類就是一個等價類。

所有等價類的并集是$S$就更好證明了，對所有元素各自求一個等價類，這些等價類必然包含這些元素，那么他們的并必然是$S$。

函數與映射

接下來介紹一下函數，函數在數學眾多領域中都是至關重要的，各種關于函數的記號卻有略微差別，這里約定好關于函數的定義和記號。

Definition Function (Mapping)

A function (or mapping) $?$ for a set $A$ to a set $B$ is a rule that assigns to each element $a$ of $A$ exactly one element $b$ of $B$. $A$ is called the domain of $?$, and $B$ is called a range of $?$. if $?$ assigns $b$ to $a$, $b$ is called the image of $a$ under $?$. The subset of $B$ comprising all the images of elements of $A$ is called the image of $A$ under $?$

定義理解：

• 函數和映射是一個意思，是針對兩個集合的一個規則，這個規則能讓集合$A$的任意元素，在$B$集合中找到對應的值。
• 集合$A$被稱為定義域，集合$B$被稱為值域。
• 元素$a$被映射為元素$b$，那么$b$被叫做像。
• $A$集合中所有元素在$B$中的像的集合，被稱為$A$的像。

映射符號

兩集合映射的表示：$?:A\to B$
元素間映射的表示：$?:a\to b$ or $?(a)=b$

函數的復合

Let $?:A\to B$ and $\phi :B\to C$. The composition $\phi ?$ is a mapping from $A$ to $C$.
We denote that $(f°g)(x)=f(g(x))$

函數的一種分類

約定討論函數$?:A\to B$

• one-to-one function: $?a_1,a_2\in A,?(a_1)=?(a_2)?a_1=a_2$
• Function from $A$ onto $B$: $?b\in B,?a\in A\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}?(a)=b$

理解：這兩種映射可以翻譯為“一一的”和“到上的”，實際上對應的是單射和滿射。“一一的”代表像相同則原像相等，即不能有多個原像映射到同一個像。“到上的”即集合$B$中所有元素都是像，也即是$A$的像等于值域。

函數的一些特性

• 映射滿足結合律：$\gamma (\beta \alpha )=(\gamma \beta )\alpha$
• 如果$\alpha$和$\beta$都是一一的，那么$\beta \alpha$也是
• 如果$\alpha$和$\beta$都是到上的，那么$\beta \alpha$也是
• 如果$\alpha$是一一到上的（雙射），那映射存在逆

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数——Part1 整数和等价关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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