問題：如果數據存儲在鏈表中，就真的沒法用二分查找算法了嗎？可以對鏈表進行“改造”，就可以支持類似“二分”的查找算法。

跳表

定義：對鏈表經過改造之后的數據結構叫做跳表（Skip list），是一種各方面性能都比較優秀的動態數據結構，

特點：

• 可以支持快速地插入、刪除、查找操作，甚至可以替代紅黑樹（Red-black tree）。
• Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表來實現的。類似的紅黑樹也可以實現快速地插入、刪除和查找操作

如何理解跳表？

1、原始的鏈表：查找效率很低，時間復雜度會很高，是 O(n)

2、改造：對鏈表建立一級“索引”，每兩個結點提取一個結點到上一級，把抽出來的那一級叫做索引或索引層。圖中的 down 表示 down 指針，指向下一級結點。

此時查找結點16可以先遍歷第一級索引，找到結點13發現下一個結點17>16，然后我們通過索引層結點的 down 指針，下降到原始鏈表這一層，繼續遍歷。只需要再遍歷 2 個結點，就可以找到值等于 16的結點。依次類推，繼續向上建立多級索引：

這種鏈表加多級索引的結構，就是跳表。當鏈表的長度 n 比較大時，比如 1000、10000 的時候，在構建索引之后，查找效率的提升就會非常明顯。

跳表查詢的時間復雜度

1、如果鏈表里有 n 個結點，會有多少級索引呢？每兩個結點會抽出一個結點作為上一級索引的結點，那第一級索引的結點個數大約就是 n/2，第二級索引的結點個數大約就是 n/4，第三級索引的結點個數大約就是 n/8，依次類推，也就是說，第 k 級索引的結點個數是第 k-1 級索引的結點個數的 1/2，那第 k級索引結點的個數就是 n/(2k)。

2、假設索引有 h 級，最高級的索引有 2 個結點。通過上面的公式可以得到 n/(2h)=2，從而求得 h=log2n-1。如果包含原始鏈表這一層，整個跳表的高度就是 log2n。在跳表中查詢某個數據的時候，如果每一層都要遍歷 m 個結點，那在跳表中查詢一個數據的時間復雜度就是 O(m*logn)。

3、按照前面這種索引結構，我們每一級索引都最多只需要遍歷 3 個結點，也就是說 m=3

解釋：假設我們要查找的數據是 x，在第 k 級索引中，我們遍歷到 y 結點之后，發現 x 大于 y，小于后面的結點 z，所以我們通過 y 的 down 指針，從第 k 級索引下降到第 k-1 級索引。在第 k-1 級索引中，y 和 z 之間只有 3 個結點（包含 y 和 z），所以，我們在 K-1 級索引中最多只需要遍歷 3 個結點，依次類推，每一級索引都最多只需要遍歷 3 個結點。

4、跳表中查詢任意數據的時間復雜度就是 O(logn)。這個查找的時間復雜度跟二分查找是一樣的。基于單鏈表實現了二分查找，不過，這種查詢效率的提升前提是建立了很多級索引，使用到了空間換時間的設計思路。

跳表查詢的空間復雜度

假設原始鏈表大小為 n，那第一級索引大約有 n/2 個結點，第二級索引大約有 n/4 個結點，以此類推，每上升一級就減少一半，直到剩下 2 個結點。這幾級索引的結點總和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空間復雜度是 O(n)。也就是說，如果將包含 n 個結點的單鏈表構造成跳表，我們需要額外再用接近 n 個結點的存儲空間。那如何降低索引占用的內存空間呢？

如果我們每三個結點或五個結點，抽一個結點到上級索引，就可以減少空間占用。實際上，在軟件開發中，我們不必太在意索引占用的額外空間。在講數據結構和算法時，我們習慣性地把要處理的數據看成整數，但是在實際的軟件開發中，原始鏈表中存儲的有可能是很大的對象，而索引結點只需要存儲關鍵值和幾個指針，并不需要存儲對象，所以當對象比索引結點大很多時，那索引占用的額外空間就可以忽略了。

高效的動態插入和刪除

1、對于跳表來說，我們講過查找某個結點的時間復雜度是 O(logn)，所以這里查找某個數據應該插入的位置，方法也是類似的，時間復雜度也是 O(logn)

2、跳表的刪除操作除了要刪除原始鏈表中的結點，還要刪除索引中的。因為單鏈表中的刪除操作需要拿到要刪除結點的前驅結點，然后通過指針操作完成刪除。所以在查找要刪除的結點的時候，一定要獲取前驅結點。當然，如果我們用的是雙向鏈表，就不需要考慮這個問題了

跳表索引動態更新

當我們不停地往跳表中插入數據時，如果我們不更新索引，就有可能出現某 2 個索引結點之間數據非常多的情況。極端情況下，跳表還會退化成單鏈表。

作為一種動態數據結構，需要某種手段來維護索引與原始鏈表大小之間的平衡。如果鏈表中結點多了，索引結點就相應地增加一些，避免復雜度退化，以及查找、插入、刪除操作性能下降。紅黑樹、AVL 樹這樣平衡二叉樹是通過左右旋的方式保持左右子樹的大小平衡，而跳表是通過隨機函數來維護前面提到的“平衡性”。

1、當我們往跳表中插入數據的時候，我們可以選擇同時將這個數據插入到部分索引層中。索引在垂直方向上也必須是一個完整的鏈表，如果一個數據在某一層索引中，那么它必須同時存在于所有的下級索引中

2、通過一個隨機函數，來決定將這個結點插入到哪幾級索引中。隨機函數生成了值 K，那我們就將這個結點添加到第一級到第 K 級這 K 級索引中

3、隨機函數的選擇很有講究，從概率上來講，能夠保證跳表的索引大小和數據大小平衡性，不至于性能過度退化

Redis 為什么用跳表來實現有序集合？

Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面這幾個：

• 插入一個數據；
• 刪除一個數據；
• 查找一個數據；
• 按照區間查找數據（比如查找值在[100, 356]之間的數據）；
• 迭代輸出有序序列。

原因：

1、只有按照區間來查找數據這個操作，紅黑樹的效率沒有跳表高，其他的操作紅黑樹都可以完成。按照區間查找數據這個操作，跳表可以做到 O(logn) 的時間復雜度定位區間的起點，然后在原始鏈表中順序往后遍歷就可以了。這樣做非常高效。

2、相對于紅黑樹的代碼實現，跳表代碼實現更容易。雖然跳表的實現也不簡單，但比起紅黑樹來說還是好懂、好寫多了，而簡單就意味著可讀性好，不容易出錯。

3、跳表更加靈活，它可以通過改變索引構建策略，有效平衡執行效率和內存消耗。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的17 | 跳表：为什么Redis一定要用跳表来实现有序集合？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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