近世代數--環--環的一些基本概念

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

環的概念與群很多相似的，但是由于有兩個運算符$(?,+)$，所以需要區分單位元和零元。

有一些概念。

• 環：$(R,+,?),?a,b,c\in R$

  • $R$關于$“+”$構成交換群
  • $“?”$滿足結合律，$a?(b?c)=(a?b)?c$
  • $“+”“?”$滿足分配律，$a?(b+c)=a?b+a?c,(b+c)?a=b?a+c?a$

• 零元：加法單位元：0，任意元素與零元做乘法運算，還是零元

• 零因子：$a,b$為環$R$中兩個非零元，ab=0，則稱$a,b$為零因子

• 幺元/單位元：乘法單位元：1，（除零元外）任意元素與幺元做乘法運算，還是任意元素

• 單元/可逆元：環$R$是有單位元$e$的環，$a\in R,$如果$?b\in R,$使$ab=ba=e$，那么$a$是$R$的一個可逆元或單元，$b$是$a$的逆元

• 含幺環：$R$有乘法幺元$e$，即$?a\in R,a?e=e?a=a$

• 交換環：$R$滿足乘法交換律，即$a?b=b?a$

1. 環$\to$整環integral domain：

• 整環：
  • 含幺環
  • 交換環
  • 無零因子

例子：

• $(Z,+,?)$是整環：幺元是1，可交換，無零因子，即沒有任何兩個非零整數相乘為零。
• 同理，$Q,R,C$（$Q$：有理數Quotient；$R$：實數Real number；$C$：復數Complex number）也是整環。
• $(Z_m,\oplus ,?),m$是合數時，有零因子；$m$是素數時，無零因子，是整環。例如：
  • $Z_8=\{0,1,2,3,4,5,6,7\},2$和$4$是零因子，$2=0,4=0,2?4=8\equiv 0(mod8)$；
  • $Z_5=\{0,1,2,3,4\},$前面我們推過素數階群一定是循環群，根據循環群的定義，我們知道循環群可以寫成$G=<a>$的形式，其中$a$是群$G$的生成元。再加上所有數都可以表示成原根的冪次形式，我們可以知道其實原根就是生成元。對于$Z_5，or{d}_5(2)\equiv 4\equiv \phi (5)$，$2$是模$5$的原根，也是$Z_5$的生成元，即$Z_5$中所有數都可以寫成$2^k$的形式，幺元為$2^0$。

2. 環$\to$除環division ring：

• 除環：環$R$非零元全體在乘法運算$“?”$下構成群

例子：

• $(Z,+,?)$不是除環：單位元是1，不過不是所有元素都有逆元，比如$5,$逆元$\frac{1}{5}\in /Z。$
• 不過，$Q,R,C$（$Q$：有理數Quotient；$R$：實數Real number；$C$：復數Complex number）是除環。
• $(Z_m,\oplus ,?),m$是合數時，無幺元；$m$是素數時，有幺元，有逆元，是除環。例如：
  • 非零元全體$Z_8=\{1,2,3,4,5,6,7\}，$不滿足封閉性，通過乘法運算得到零元，$2?4=8\equiv 0(mod8)$，零元不在非零元全體里，故不滿足群的封閉性；
  • 非零元全體$Z_5=\{1,2,3,4\}，2$是原根，$2^0$是幺元，$2^k$的逆元是$2^{?k}$，滿足封閉性，不會有乘法運算結果為零元(0)，結合性也滿足。

3. 除環$\to$域field：

• 域：可交換的除環，記為$(F,+,?)$
  • $(F,+)$為$Abel$群；
  • $(F^{?},?)$為$Abel$群；($F^{?}$為非零元全體)
  • 乘法對加法滿足分配律

例子：

• 根據除環的例子，我們可以知道：$(Z,+,?)$不是域，$Q,R,C$是域。$(Z_m,\oplus ,?)，m$是素數時，是域；$m$是合數時，不是域。

有單位元的交換環$R$，如果無零因子，則是整環；在整環的基礎上，“非零元全體都可逆”是域，“有限整環”也是域。兩種定義都可以，域也是無零因子的。

哈哈哈哈，我發現原來$m$是素數，則$Z_m$是整環，是除環，是域；$m$是合數，就啥都不是，因為可能乘法運算得到零元，則有零因子，無封閉性。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--环--环的一些基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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