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引子
每年十一月各大IT公司都不約而同、爭后恐后地到各大高校進行全國巡回招聘。與此同時，網上也開始出現大量筆試面試題；網上流傳的題目往往都很精巧，既能讓考查基礎知識，又在平淡中隱含了廣闊的天地供優秀學生馳騁。

這兩天在網上淘到一1道筆試題目（注1），雖然真假未知，但的確是道好題，題目如下：

?????? 從10億個浮點數中找出最大的1萬個。

這是一道似易實難的題目，一般同學最容易中的陷阱就是沒有重視這個“億”字。因為有10億個單精度浮點數元素的數組在32位平臺上已經達到3.7GB之巨，在常見計算機平臺（如Win32）上聲明一個這樣的數組將導致堆棧溢出。正確的解決方法是分治法，比如每次處理100萬個數，然后再綜合起來。不過這不是本文要討論的主旨，所以本文把上題的10億改為1億，把浮點數改為整數，這樣可以直接地完成這個問題，有利于清晰地討論相關算法的優化（注2）。

不假思索
拿到這道題，馬上就會想到的方法是建立一個數組把1億個數裝起來，然后用for循環遍歷這個數組，找出最大的1萬個數來。原因很簡單，因為如果要找出最大的那個數，就是這樣解決的；而找最大的1萬個數，只是重復1萬遍而已。

template< class T >

void solution_1( T BigArr[], T ResArr[] )

{

?????? for( int i = 0; i < RES_ARR_SIZE; ++i )

?????? {

????????????? int idx = i;

????????????? for( int j = i+1; j < BIG_ARR_SIZE; ++j )

????????????? {

???????????????????? if( BigArr[j] > BigArr[idx] )

??????????????????????????? idx = j;

????????????? }

????????????? ResArr[i] = BigArr[idx];

????????????? std::swap( BigArr[idx], BigArr[i] );

?????? }

}

設BIG_ARR_SIZE ＝ 1億，RES_ARR_SIZE = 1萬，運行以上算法已經超過40分鐘（注3），遠遠超過我們的可接受范圍。

稍作思考
從上面的代碼可以看出跟SelectSort算法的核心代碼是一樣的。因為SelectSort是一個O(n^2)的算法（solution_1的時間復雜度為O(n*m)，因為solution_1沒有將整個大數組全部排序），而我們又知道排序算法可以優化到O(nlogn)，那們是否可以從這方面入手使用更快的排序算法如MergeSor、QuickSort呢？但這些算法都不具備從大至小選擇最大的N個數的功能，因此只有將1億個數按從大到小用QuickSort排序，然后提取最前面的1萬個。

template< class T, class I >

void solution_2( T BigArr[], T ResArr[] )

{

?????? std::sort( BigArr, BigArr + BIG_ARR_SIZE, std::greater_equal() );

?????? memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );

}

因為STL里的sort算法使用的是QuickSort，在這里直接拿來用了，是因為不想寫一個寫一個眾人皆知的QuickSort代碼來占篇幅（而且STL的sort高度優化、速度快）。

對solution_2進行測試，運行時間是32秒，約為solution_1的1.5%的時間，已經取得了幾何數量級的進展。

深入思考
壓抑住興奮回頭再仔細看看solution_2，你將發現一個大問題，那就是在solution_2里所有的元素都排序了！而事實上只需找出最大的1萬個即可，我們不是做了很多無用功嗎？應該怎么樣來消除這些無用功？

如果你一時沒有頭緒，那就讓我慢慢引導你。首先，發掘一個事實：如果這個大數組本身已經按從大到小有序，那么數組的前1萬個元素就是結果；然后，可以假設這個大數組已經從大到小有序，并將前1萬個元素放到結果數組；再次，事實上這結果數組里放的未必是最大的一萬個，因此需要將前1萬個數字后續的元素跟結果數組的最小的元素比較，如果所有后續的元素都比結果數組的最小元素還小，那結果數組就是想要的結果，如果某一后續的元素比結果數組的最小元素大，那就用它替換結果數組里最小的數字；最后，遍歷完大數組，得到的結果數組就是想要的結果了。

template< class T >

void solution_3( T BigArr[], T ResArr[] )

{

?????? //取最前面的一萬個

?????? memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );

?????? //標記是否發生過交換

?????? bool bExchanged = true;

?????? //遍歷后續的元素

?????? for( int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i )

?????? {

????????????? int idx;

????????????? //如果上一輪發生過交換

????????????? if( bExchanged )

????????????? {

???????????????????? //找出ResArr中最小的元素

???????????????????? int j;

???????????????????? for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )

???????????????????? {

??????????????????????????? if( ResArr[idx] > ResArr[j] )

?????????????????????????????????? idx = j;

???????????????????? }

????????????? }

????????????? //這個后續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。

????????????? if( BigArr[i] > ResArr[idx] )

????????????? {

???????????????????? bExchanged = true;

???????????????????? ResArr[idx] = BigArr[i];

????????????? }

????????????? else

???????????????????? bExchanged = false;

?????? }

}

上面的代碼使用了一個布爾變量bExchanged標記是否發生過交換，這是一個前文沒有談到的優化手段——用以標記元素交換的狀態，可以大大減少查找ResArr中最小元素的次數。也對solution_3進行測試一下，結果用時2.0秒左右（不使用bExchanged則高達32分鐘），遠小于solution_2的用時。

深思熟慮
在進入下一步優化之前，分析一下solution_3的成功之處。第一、solution_3的算法只遍歷大數組一次，即它是一個O(n)的算法，而solution_1是O(n*m)的算法，solution_2是O(nlogn)的算法，可見它在本質上有著天然的優越性；第二、在solution_3中引入了bExchanged這一標志變量，從測試數據可見引入bExchanged減少了約99.99%的時間，這是一個非常大的成功。

上面這段話絕非僅僅說明了solution_3的優點，更重要的是把solution_3的主要矛盾擺上了桌面——為什么一個O(n)的算法效率會跟O(n*m)的算法差不多（不使用bExchanged）？為什么使用了bExchanged能夠減少99.99%的時間？帶著這兩個問題再次審視solution_3的代碼，發現bExchanged的引入實際上減少了如下代碼段的執行次數：

for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )

{

?????? if( ResArr[idx] > ResArr[j] )

????????????? idx = j;

}

上面的代碼段即是查找ResArr中最小元素的算法，分析它可知這是一個O(n)的算法，到此時就水落石出了！原來雖然solution_3是一個O(n)的算法，但因為內部使用的查找最小元素的算法也是O(n)的算法，所以就退化為O(n*m)的算法了。難怪不使用bExchanged使用的時間跟solution_1差不多；這也從反面證明了solution_3被上面的這一代碼段導致性能退化。使用了bExchanged之后因為減少了很多查找最小元素的代碼段執行，所以能夠節省99.99%的時間！

至此可知元兇就是查找最小元素的代碼段，但查找最小元素是必不可少的操作，在這個兩難的情況下該怎么去優化呢？答案就是保持結果數組（即ResArr）有序，那樣的話最小的元素總是最后一個，從而省去查找最小元素的時間，解決上面的問題。但這也引入了一個新的問題：保持數組有序的插入算法的時間復雜度是O(n)的，雖然在這個問題里插入的數次比例較小，但因為基數太大（1億），這一開銷仍然會令本方案得不償失。

難道就沒有辦法了嗎？記得小學解應用題時老師教導過我們如果解題沒有思路，那就多讀幾遍題目。再次審題，注意到題目并沒有要求找到的最大的1萬個數要有序（注4），這意味著可以通過如下算法來解決：

1)??????????? 將BigArr的前1萬個元素復制到ResArr并用QuickSort使ResArr有序，并定義變量MinElemIdx保存最小元素的索引，并定義變量ZoneBeginIdx保存可能發生交換的區域的最小索引；

2)??????????? 遍歷BigArr其它的元素，如果某一元素比ResArr最小元素小，則將ResArr中MinElemIdx指向的元素替換，如果ZoneBeginIdx == MinElemIdx則擴展ZoneBeginIdx；

3)??????????? 重新在ZoneBeginIdx至RES_ARR_SIZE元素段中尋找最小元素，并用MinElemIdx保存其它索引；

4)??????????? 重復2)直至遍歷完所有BigArr的元素。

依上算法，寫代碼如下：

template< class T, class I >

void solution_4( T BigArr[], T ResArr[] )

{

?????? //取最前面的一萬個

?????? memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );

?????? //排序

?????? std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater_equal() );

?????? //最小元素索引

?????? unsigned int MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1;

?????? //可能產生交換的區域的最小索引

?????? unsigned int ZoneBeginIdx = MinElemIdx;

?????? //遍歷后續的元素

?????? for( unsigned int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i )

?????? {????

????????????? //這個后續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。

????????????? if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] )

????????????? {

???????????????????? ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i];

???????????????????? if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx )

??????????????????????????? --ZoneBeginIdx;

???????????????????? //查找最小元素

???????????????????? unsigned int idx = ZoneBeginIdx;

???????????????????? unsigned int j = idx + 1;

???????????????????? for( ; j < RES_ARR_SIZE; ++j )

???????????????????? {

??????????????????????????? if( ResArr[idx] > ResArr[j] )

?????????????????????????????????? idx = j;

???????????????????? }

???????????????????? MinElemIdx = idx;

????????????? }

?????? }

}

經過測試，同樣情況下solution_4用時約1.8秒，較solution_3效率略高，總算不負一番努力。

因為受到經濟危機的影響，我在 bokee.com 的博客可能隨時出現無法訪問的情況；因此將2005年到2006年間在 bokee.com 撰寫的博客文章全部遷移到 csdn 博客中來，本文正是其中一篇遷移的文章。

聲明：本文最初發表于《電腦編程技巧與維護》2006年第5期，版本所有，如蒙轉載，敬請連此聲明一起轉載，否則追究侵權責任。

從一道筆試題談算法優化（下）

作者：賴勇浩（http://blog.csdn.net/lanphaday）

苦想冥思

這次優化從solution_4產生的輸出來入手。把solution_4的輸出寫到文件，查看后發現數組基本無序了。這說明在程序運行一定時間后，頻繁的替換幾乎將原本有序的結果數組全部換血。結果數組被替換的元素越多，查找最小元素要遍歷的范圍就越大，當被替換的元素個數接近結果數組的大小時，solution_4就退化成solution_3。因為solution_4很快退化也就直接導致它的效率沒有本質上的提高。

找出了原因，就應該找出一個解決的辦法。通過上面的分析，知道solution_3和solution_4最消耗時間的是查找最小元素這一操作，將它減少（或去除）才有可能從本質上提高效率。這樣思路又回到保持結果數組有序這一條老路上來。在上一節我們談到保持數組有序的插入算法將帶來大量的元素移動，頻繁的插入操作將使這一方法在效率上得不償失。有沒有辦法讓元素移動去掉呢？答案也是有的——那就是使用鏈表。這時新的問題又來了，鏈表因為是非隨機存取數據結構，插入前尋找位置的算法又是O(n)的。解決新的問題的答案是使用AVL樹，但AVL樹雖然插入和查找都是O(logn)，可是需要在插入后進行調整保持平衡，這又是一個耗費大量時間的操作。分析到現在，發現我們像進了迷宮，左沖右突都找不到突破口。

現在請靜下來想一想，如果思考結果沒有跳出上面這個怪圈，那我不幸地告訴你：你被我誤導了。這個故意的誤導是要告誡大家：進行算法優化必須時刻保持自己頭腦清醒，否則時刻都有可能陷入這樣的迷宮當中。現在跳出這個怪圈重新思考，根據前文的分析，可知目標是減少（或去除）查找最小元素的操作次數（或查找時間），途徑是讓ResArr保持有序，難點在于給ResArr排序太費時。反過來想一想，是否需要時刻保持ResArr有序？答案為否，因為當查找最小元素需要遍歷的范圍較小時，速度還是很快的，這樣就犯不著在每替換一個元素的時候都排序一次，而僅需要在無序元素較多的時候適時地排序即可（即保持查找最小元素要遍歷的范圍較小）。這個思想有用嗎？寫代碼來測試一下：

template< class T, class I >

void solution_5( T BigArr[], T ResArr[] )

{

?????? //同solution_4，略

?????? //這個后續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。

?????? if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] )

?????? {

????????????? ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i];

????????????? if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx )

???????????????????? --ZoneBeginIdx;

????????????? //太多雜亂元素的時候排序

????????????? if( ZoneBeginIdx < 9400 )

????????????? {

???????????????????? std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() );

???????????????????? ZoneBeginIdx = MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1;

???????????????????? continue;

????????????? }

?????? //同solution_4，略

}

代碼中的9400是經過試驗得出的最好數值，即在有600個元素無序的時候進行一次排序。測試的結果令人驚喜，用時僅400毫秒左右，約為solution_4的五分之一，這也證明了上述思想是正確的。

殫思極慮

腳步永遠向前，在取得solution_5這樣的成果之后，仍然有必要分析和優化它。對這一看似已經完美的算法進行下一次優化要從哪里著手？這時候要借助于性能剖分工具了，常用的有Intel的VTune以及Microsoft Visual C++自帶的profile等。使用MS profile對solution_5分析產生的報告如下（略去一些無關數據）：

????????? Func???????????? Func+Child?????????? Hit

??????? Time?? %???????? Time????? %????? Count? Function

---------------------------------------------------------

????? 37.718?? 1.0???? 3835.317? 99.5??????? 1 _main (algo.obj)

???? 111.900?? 2.9???? 3220.082? 83.6??????? 1 solution_5(int * ...

?????? 0.000?? 0.0???? 3074.063? 79.8????? 112 _STL::sort(int *,...

?????? ……

可以發現sort函數的調用用去了將近80%的時間，這表明sort函數是問題所在，優化應該從這里著手。但正如前文所說，STL的sort已經高度優化速度很快了，再對他作優化是極難的；而且sort函數里又調用了其它STL內部函數，如蛛絲般牽來繞去，讀得懂已經不是一般人可完成的了，優化從何談起？

我們不能左右天氣，但我們可以左右心情；我們不能修改sort函數，但我們可以控制sort的調用。再看看solution_5里對sort的調用有沒有什么蛛絲馬跡可尋：

?????? std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() );

這個調用是把結果數組ResArr重新排序一遍。需要把整個ResArr完全重新排序嗎？答案是需要的，但可以不使用這個方法。因為ResArr里的元素絕大部分是有序的（結合上文可知前面94%的元素都有序），待排序的只是6%。只要把這600個數據重新排序然后將前后兩個有序數組歸并為一個有序數組即可（歸并算法的時間復雜度為O(n+m)），將因為排序的數據量較少而大大節約時間。寫代碼如下：

template< class T, class I >

void solution_6( T BigArr[], T ResArr[] )

{

?????? //同solution_5，略

?????? //太多雜亂元素的時候排序

?????? if( ZoneBeginIdx < 9400 )

?????? {

????????????? std::sort( ResArr + 9400, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() );

????????????? std::merge(ResArr, ResArr + 9400, ResArr + 9400, ResArr + RES_ARR_SIZE, BigArr, std::greater() );

????????????? memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );

?????? //同solution_5，略

}

經測試，solutio_6的運行時間為250毫秒左右，比solution_5快了將近一半，通過profile分析報告計算sort函數和merge函數的占用時間總計約為執行時間的19.6%，遠小于solution_5的占用時間。

結束語

一番努力之后，終于將一個原來需要近一個小時才能解決的問題用250毫秒完成，文章到這里要完結，不過上述算法仍有可優化的余地，這就要讀者朋友自己去挖掘了。我希望看到這篇文章的人不僅僅是贊嘆算法的奇妙，更希望能夠學會算法優化的方法和技巧。對于算法優化的方法，我總結如下（僅供參考及拋磚引玉之用）：

l???????? 不斷地否定自己的方法[全文]

l???????? 減少重復計算[solution_3]；

l???????? 不要做沒要求你做的事[solution_3]；

l???????? 深化對需求的理解[solution_4]；

l???????? 溫故而知新，多重讀自己的算法代碼[solution_4]；

l???????? 從程序的輸出（或者中間結果）里找突破[solution_5]；

l???????? 時刻保持頭腦清醒，常常跳出習慣的框框[solution_5]；

l???????? 善于使用工具[solution_6]；

l???????? 養成解決一個問題思考多個方案的習慣[全文]。

最后要講的一點就是STL里提供了一個可以直接完成這一問題的算法——nth_element。經測試，nth_element在大數組比較小的時候速度比以上算法都要快，但在大數組尺寸為1億的時候所用的時間為1.3秒左右，是solution_6運行時間的5倍。原因在于nth_elenemt的實現方法跟本文介紹的算法大不相同，有興趣的朋友可以去閱讀其源碼。建議大家在一般情況下使用STL的nth_element，它在數量為十萬級的時候仍有極好的性能。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的n个数里找出前m个数（或者 从10亿个浮点数中找出最大的1万个）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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