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近世代数--陪集--拉格朗日定理|G|=|H|·[G:H]，传递性[G:H][H:K]=[G:K]

發布時間：2023/12/10 编程问答 39 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了近世代数--陪集--拉格朗日定理|G|=|H|·[G:H]，传递性[G:H][H:K]=[G:K] 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

近世代數--陪集--拉格朗日定理|G|=|H|·[G:H]，傳遞性[G:H][H:K]=[G:K]

先驗知識
拉格朗日定理 $∣ G ∣ = ∣ H ∣ ? [G : H]$
傳遞性 $[G : H] [H : K] = [G : K]$

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

先驗知識

群 $G$ ：非空集合+代數運算：單位元+逆元+封閉性+結合性
子群 $H$ ： $H$ 是 $G$ 的非空子集，對于 $G$ 的代數運算還是滿足：單位元+逆元+封閉性+結合性，記為 $H≤GH\le G$
陪集： $g∈G,Hg\in G,H$ 是 $(G, ?)$ 的子群，集合 ${g?h∣h∈H}\{g·h|h\in H\}$ 稱為 $g$ 對 $H$ 的左陪集。

拉格朗日定理 $∣ G ∣ = ∣ H ∣ ? [G : H]$

若 $(G, ?)$ 為一個群， $H≤GH\le G$ ，則有
(1)兩個陪集 $a H = b H$ ，則 $a?1b∈Ha^{-1}b\in H$
(2)對任意 $a,b∈Ga,b\in G$ ，有 $a H = b H$ 或 $\bigcap bH=\varnothing$

證明：
(1) $aH=bH→a?1aH=a?1bH→H=a?1bHaH=bH\rightarrow a^{-1}aH=a^{-1}bH\rightarrow H=a^{-1}bH$
有 $a H = H,$ 則 $a∈Ha\in H$ 。如果 $a?H,a\notin H,$ 那么 $a?e=a?H,a*e=a\notin H,$ 則 $aH≠HaH\neq H$ 。
所以 $H=a?1bH→a?1b∈HH=a^{-1}bH\rightarrow a^{-1}b\in H$
(2)假設 $g=aH?bH,g=aH\bigcap bH,$ 可以寫成 $g=ah1=bh2,→a?1b=h1h2?1∈Hg=ah_1=bh_2,\rightarrow a^{-1}b=h_1h_2^{-1}\in H$
有 $a∈H,a\in H,$ 則 $a H = H a = H$ 。
所以 $a?1b∈H→aH=bHa^{-1}b\in H\rightarrow aH=bH$

陪集是一種劃分，構成了群元素的一種分類，每個元素屬于一個類且只屬于一個類。

拉格朗日定理： $∣ G ∣ = ∣ H ∣ ? [G : H]$ ,其中 $[G : H]$ 為子群 $H$ 在群 $G$ 中不同陪集的個數,稱為 $H$ 在 $G$ 中的指數。

證明：我們已知 $G=a1H?a2H?……?akHG=a_1H\bigcup a_2H\bigcup……\bigcup a_kH$ ,當 $i≠ji\neq j$ 時, $aiH≠ajHa_iH\neq a_jH$ ,
假設 $G$ 可分成 $k$ 個不同的陪集，每個陪集 $a_iH$ 里元素有 $∣ H ∣$ 個(由于 $h1=h2?gh1=gh2，h_1=h_2\leftrightarrow gh_1=gh_2，$ 所以 $a_iH|=|H|$ ),那么有 $∣ G ∣ = ∣ H ∣ ? [G : H]$

傳遞性 $[G : H] [H : K] = [G : K]$

對于有限集合， $K≤H,H≤G,K\le H,H\le G,$ 那么有 $∣G∣=∣H∣?[G:H],∣H∣=∣K∣?[H:K]→[G:H][H:K]=∣G∣∣H∣?∣H∣∣K∣=∣G∣∣K∣=[G:K]\\|G|=|H|·[G:H],|H|=|K|·[H:K]\\\rightarrow [G:H][H:K]=\frac{|G|}{|H|}·\frac{|H|}{|K|}=\frac{|G|}{|K|}=[G:K]$
對于無限集合， $∣ G ∣ = ∣ H ∣ ? [G : H]$ 不能推出 $[G:H]=∣G∣∣H∣[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$ ，需要構建函數來證明。 $[G : H]$ 是 $G$ 關于 $H$ 的所有陪集的集合，因為之前證過|左陪集|=|右陪集|，所以我們只需要證 $G$ 關于 $H$ 的左陪集的個數· $H$ 關于 $K$ 的左陪集的個數= $G$ 關于 $K$ 的左陪集的個數
- 我們知道 $[G:H]={aH∣a∈G}[G:H]=\{aH|a\in G\}$ ，從這個定義可以看出，其實 $∣ [G : H] ∣ = ∣ a ∣$ 。同理， $[H:K]={bK∣b∈H}→∣[H:K]∣=∣b∣;[G:K]={cK∣c∈H}→∣[G:K]∣=∣c∣;\\ [H:K]=\{bK|b\in H\}\rightarrow |[H:K]|=|b|;\\ [G:K]=\{cK|c\in H\}\rightarrow |[G:K]|=|c|;$
  所以我們現在要證的就是 $c = a b$ ，但 $∣ a ∣, ∣ b ∣, ∣ c ∣$ 仍是無窮數，無法直接得證。從這里開始構造函數。
- 令 $S={(a,b)}$ ，函數 $f:S→G/K，f(a,b)=abKf:S\rightarrow G/K，f(a,b)=abK$ 。（ $G / K$ 的嚴格定義前提條件是 $K?GK\unlhd G$ ，是商群的意思；這里只表示 $G$ 關于 $K$ 的所有陪集的集合。為什么定義是 $a b K$ ，后面要證雙射，本來映射到 $G / K$ ，應該是 $c K$ ，如果證明是雙射，那就是表示 $abK=cK→ab=cabK=cK\rightarrow ab=c$ ）
  - 映射：
    要證 $(a,b)=(c,d)→f(a,b)=f(c,d)(a,b)=(c,d)\rightarrow f(a,b)=f(c,d)$ ，
    易證： $(a,b)=(c,d)→f(a,b)=abK=cdK=f(c,d)(a,b)=(c,d)\rightarrow f(a,b)=abK=cdK=f(c,d)$
  - 單射：
    要證 $(a1,b1)≠(a2,b2)→f(a1,b1)≠f(a2,b2)(a_1,b_1)\neq(a_2,b_2)\rightarrow f(a_1,b_1)\neq f(a_2,b_2)$ ，反證 $c1K=c2K→a1b1K=a2b2K→(a1,b1)=(a2,b2)c_1K=c_2K\rightarrow a_1b_1K=a_2b_2K\rightarrow (a_1,b_1)=(a_2,b_2)$
  - 滿射：
    要證 $?cK∈G/K,?(a,b)\forall cK\in G/K,{\exists}(a,b)$ 使得 $f (a, b) = a b K = c K$
    - 對于 $?cK∈G/K,c∈G\forall cK\in G/K,c\in G$ ；對于 $?aH∈G/H，\forall aH\in G/H，$ 根據陪集是一種劃分，有 $∪aH=G\cup aH=G$ ；所以 $?aH{\exists}aH$ 使得 $c∈aHc\in aH$ ；
    - 同理，對于 $?bK∈H/K,\forall bK\in H/K,$ 有 $∪bK=H\cup bK=H$ ；又 $?aH∈G/H\forall aH\in G/H$ ，所以 $?abK=G\forall abK=G$ ，所以 $?abK{\exists}abK$ 使得 $c∈abKc\in abK$ ；
    - $c∈abK→cK=abK→f(a,b)=abK=cKc\in abK\rightarrow cK=abK\rightarrow f(a,b)=abK=cK$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--陪集--拉格朗日定理|G|=|H|·[G:H]，传递性[G:H][H:K]=[G:K]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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