近世代數--正規子群--群、同態核、同態象的大小關系

• $|G|=|Ker\phi ||Im\phi |$

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

這里是正規子群的一點基礎概念。

$|G|=|Ker\phi ||Im\phi |$

設$G,G^{\prime }$是兩個群，$\phi :G\to G^{\prime }$是一個群同態，設$\bar{G}$是$N=Ker\phi$的所有陪集的集合，則$\bar{\phi }:\bar{G}\to Im\phi ,\phi (aN)=Im(a)$是一個雙射。

證明：

• 構造映射：$\bar{\phi }:\bar{G}\to Im\phi ,\bar{\phi }(aN)=\phi (a)$
• 是一個函數：證明$?aN,bN\in \bar{G},$如果$aN=bN,$那么$\phi (a)=\phi (b)$
  $$\begin{gathered} aN=bN \\ \to a^{?1}bN=N \\ \to a^{?1}b\in N=Ker\phi \\ \to \phi (a^{?1}b)=e \\ \to \phi (a^{?1})\phi (b)=e \\ \to \phi (a{)}^{?1}\phi (b)=e \\ \to \phi (a)=\phi (b) \end{gathered}$$
• 單射：證明$?Im(a),Im(b)\in Im\phi ,$如果$\phi (a)=\phi (b),$那么$aN=bN$
  $$\begin{gathered} \phi (a)=\phi (b) \\ \to \phi (a{)}^{?1}\phi (b)=e \\ \to \phi (a^{?1}b)=e \\ \to a^{?1}b\in Ker\phi =N \\ \to a^{?1}bN=N \\ \to aN=bN \end{gathered}$$
• 滿射：$?Im(a)\in Im\phi ,?aN\in \bar{G}$，使得$\phi (aN)=Im(a)$
  易證。

$\bar{\phi }:\bar{G}\to Im\phi ,\phi (aN)=Im(a)$是一個雙射，$\to |\bar{G}|=|Im\phi |$，又由拉格朗日定理知，$$\begin{gathered} |G|=|N||\bar{G}| \\ \to |G|=|Ker\phi ||Im\phi | \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--正规子群--群、同态核、同态象的大小关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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