克萊姆法則（由線性方程組的系數確定方程組解的表達式）是線性代數中一個關于求解線性方程組的定理，它適用于變量和方程數目相等的線性方程組。

概念

含有n個未知數的線性方程組稱為n元線性方程組。
1）當其右端的常數項b1,b2,…,bn不全為零時，稱為非齊次線性方程組：

其中，A是線性方程組的系數矩陣，X是由未知數組成的列向量，β是由常數項組成的列向量。
非齊次線性方程組的矩陣形式：

2）當常數項全為零時，稱為齊次線性方程組，即：

其矩陣形式：

3）系數構成的行列式稱為該方程組的系數行列式D，即

定理

記法1：若線性方程組的系數矩陣A可逆（非奇異），即系數行列式 D≠0。有唯一解，其解為

記法2：若線性方程組的系數矩陣A可逆（非奇異），即系數行列式 D≠0，則線性方程組有唯一解，其解為

其中Dj是把D中第j列元素對應地換成常數項而其余各列保持不變所得到的行列式，即

記法1是將解寫成矩陣（列向量）形式，而記法2是將解分別寫成數字，本質相同。

推論

1）n元齊次線性方程組有唯一零解的充要條件是系數行列式不等于零，系數矩陣可逆（矩陣可逆=矩陣非奇異=矩陣對應的行列式不為0=滿秩=行列向量線性無關）；
2）n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數行列式等于零。

法則總結

1.克萊姆法則的重要理論價值：
1）研究了方程組的系數與方程組解的存在性與唯一性關系；
2）與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值。（一般沒有計算價值，計算量較大，復雜度太高）
2.應用克萊姆法則判斷具有N個方程、N個未知數的線性方程組的解：
1）當方程組的系數行列式不等于零時，則方程組有解，且具有唯一的解；
2）如果方程組無解或者有兩個不同的解，那么方程組的系數行列式必定等于零；
3）克萊姆法則不僅僅適用于實數域，它在任何域上面都可以成立。
3.克萊姆法則的局限性：
1）當方程組的方程個數與未知數的個數不一致時，或者當方程組系數的行列式等于零時，克萊姆法則失效；
2）運算量較大，求解一個N階線性方程組要計算N+1個N階行列式。

總結

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