克萊姆(cramer)法則及定理簡(jiǎn)介.ppt

克萊姆(cramer)法則及定理簡(jiǎn)介 一. 克萊姆法則 二. 重要定理 三. 小結(jié) 可逆矩陣的判定及其求法 1、伴隨矩陣法 定義 設(shè)A=(aij)為n階矩陣，Aij為|A|中元素aij 的代數(shù)余子式, (i,j = 1, 2, …,n),則稱(chēng)矩陣 為A的伴隨矩陣. 定理1 矩陣A可逆的充要條件是 證明 若 可逆， 必要性 充分性 ,且 按逆矩陣的定義得 證畢 奇異矩陣與非奇異矩陣的定義 推論1 奇異矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍是奇異矩陣, 非奇異矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍是非奇異陣. 證 設(shè)P是任何一個(gè)與A同階的初等矩陣，則 |PA| = |P| |A| = |A| |P| = |AP| , 因此, 當(dāng)|A| = 0時(shí), |PA| = |AP| = 0 . 當(dāng)|A| ≠ 0時(shí), |PA| ≠0, |AP| ≠0 證畢. 推論2 證明 分塊對(duì)角陣 其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方陣,則A為分塊對(duì) 角陣. 分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì): 設(shè)線性方程組 則稱(chēng)此方程組為非 齊次線性方程組; 此時(shí)稱(chēng)方程組為齊次線性方程組. 非齊次與齊次線性方程組的概念 一、克萊姆法則 如果線性方程組 的系數(shù)行列式不等于零，即 其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程 組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 階行列式，即 則方程組有唯一解,其解為: 證明 在把 個(gè)方程依次相加，得 由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知, 于是 當(dāng) 時(shí),方程組 有唯一的一個(gè)解 由于方程組 與方程組 等價(jià), 故 也是方程組的 解. 例1 給定平面上三個(gè)點(diǎn) 且對(duì)稱(chēng)軸與 y 軸平行的拋物線方程. 解 因拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與 y 軸平行,故可設(shè)其方程為 于是有 ,求過(guò)這三點(diǎn) 此方程的系數(shù)行列式是范德蒙得行列式,而 所以方程組有唯一解, 又 故 即所求的拋物線方程為 重要定理 定理1 如果線性方程組 的系數(shù)行列式 則 一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果線性方程組 無(wú)解或有兩個(gè)不同的 解，則它的系數(shù)行列式必為零. 二.齊次線性方程組有非零解的條件 定理3 如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式 則它只有零解. 定理4 如果齊次線性方程組 有非零解,則它 的系數(shù)行列式必為零. 例2 問(wèn) 取何值時(shí)，齊次方程組 有非零解？ 解 齊次方程組有非零解，則 所以 或 時(shí)齊次方程組有非零解. 因 1. 用克萊姆法則解方程組的兩個(gè)條件 (1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù); (2)系數(shù)行列式不等于零. 2. 克萊姆法則建立了線性方程組的解和已知的系 數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo). 三、小結(jié) 思考題 當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí),能否用克萊姆 法則解方程組?為什么?此時(shí)方程組的解為何? 思考題解答 不能,此時(shí)方程組的解為無(wú)解或有無(wú)窮多解.

總結(jié)

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