抽象幾何空間、克萊姆法則及其幾何解釋

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抽象幾何空間

概述

“普適的代價是抽象”
“Abstractness is the price of generality”

所謂抽象幾何空間，就是把幾何空間的概念進行拓展，從一個更加寬廣的角度去理解什么是向量，什么是向量空間，

用向量的觀點去看待函數的運算

①函數的加法運算，相當于是多維向量的相加，只不過因為函數定義域的連續性和寬泛性，進行加法運算的向量維數可能是無窮的。

②函數的數乘運算：解釋上同

從向量空間到“函數”空間

因為對于向量的運算不外乎數乘和加法這兩種，所以——
最初以空間中的箭頭為背景考慮的線性代數的合理概念和解決問題的手段都可以很靈活地嫁接到函數空間中。

①函數的線性變換：接受一個函數，并通過作用變換成另外一個函數。
形式上很像我們之前理解的[復合函數]

• 特例：微積分中的導數運算
  ——求導性具有可加性和成比例性（這一點可以通過下面對線性變換的嚴格定義進行理解）
• “一個函數變換是線性的”？
  
  

線性變換保持向量加法運算和數乘運算

因為任意一個向量都能表達為基向量以某種方式進行線性組合，求一個向量變換后的結果，實際上就是求出變換后的基向量以相同方式進行線性組合的結果。

②用矩陣來描述變換
e.g.用矩陣來描述求導變換

• 要將函數的多項式表示類比成向量的坐標和矩陣表示，就需要定義函數基
  
  多項式的次數任意高，基函數集也是無窮大的。
• 坐標表示
  
• 求導矩陣的形式
  稀疏矩陣，大部分元素都為0，但是次對角線上排列著一系列的數字。
  
  作用過程：如下圖所示，將求到矩陣右乘上函數向量，就能得到相應導函數的向量形式。
  
  求解方法：求出每一個基函數的導數，把結果放在對應列中——第一個基函數的導數對應的向量放在求導矩陣的第一列，以此類推…
  

③其他相互類比的概念

總結

向量是一個很寬泛的概念，向量空間亦同。
只要你處理的對象具有合理的數乘和相加概念，不管是箭頭還是向量還是函數等等，線性代數中所有關于向量、線性變換和其他的概念應該都適用于它。

線性代數中關于“向量”空間的公理

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克萊姆法則及其幾何意義

從矩陣到線性變換到行列式

①矩陣方程的幾何理解

②矩陣方程的一個常見求解思路
將上述矩陣方程轉變成矩陣各列的線性組合，那么我們實際上是要求解在變換后的基向量的一個怎樣的線性組合下，才能得到目標向量。

• 但是矩陣方程的求解結果是取決于這個矩陣本身的特性的——矩陣變換是否降維

a.當矩陣的變換是降維的，即矩陣的行列式為0——
要么矩陣沒有一個解，要么矩陣的解不唯一
b.矩陣的變換是相同維度的，即矩陣的行列式不為0，那么輸入向量和輸出向量之間是一一對應的。

觀念掃盲：不要想當然地認為變換前后的坐標是一致的。
因為無論在哪一個坐標系中，向量的坐標都是由向量和基向量的點積運算得到的。
但是大部分矩陣變換都會對向量的點積進行改變。

• 那些不改變點積運算的矩陣變換，統稱為正交變換。
  
• 正交變換使得基向量在變換后依然保持單位長度且相互垂直。

雖然上述用點乘對坐標進行解釋的觀念在一般變換作用下并不成立。
但是它給了我們一個啟發——找到一個對坐標的合理解釋，使得其在矩陣變換前后能夠維持不變性。

坐標表示的不變性

①對向量坐標的解釋——面積/體積
二維中，某一基向量和該向量圍成的平行四邊形的面積

三維中，某個軸上的坐標即為考慮，向量和除了這個軸之外的兩個基向量組成的平行六面體的體積。

p.s.不論是面積還是體積，我們討論的均為有向的，所以在計算時要注意基向量出現的順序，以及右手定則的判定。

②使用面積或體積對向量坐標表示的意義
我們知道，在矩陣變換的過程中，面積或體積并不是不變的。但是，他們的變換有一個很好的特征，即：所有的面積或體積都是按照一樣的比例進行放大或縮小。

克萊姆法則的理解

①變換后的坐標求解公式

現在考察一個實例，即y坐標，不論是變換前還是變換后，y坐標的值都等于x軸的基向量和該向量本身所圍成的平行四邊形的面積。

變換前，面積就等于原坐標值，y。
變換后，面積等于新的坐標值，y‘。且等于原面積乘上矩陣的行列式。

p.s.這里行列式代表變換造成的面積或體積的放縮倍數，不再贅述，詳情見有關行列式的博文。

綜上所述，即可得到，新的坐標y等于上述平行四邊形的面積除以變換矩陣A的行列式

問題的關鍵在于——如何求解一個平行四邊形的面積？

②平行四邊形面積的求解

同樣是根據行列式的意義，根據下圖，想要求黃色區域的面積，該平行四邊形一條邊是x軸的基向量，另一條邊是變換后的向量。

那么我們可以構造一個變換矩陣，假設原來的兩個基向量，變成了現在平行四邊形兩條邊所在的直線位置。
那么得到的矩陣的行列式就是平行四邊形的面積。

體悟：視頻看到這里的時候，真的在內心驚呼了一句“太妙了”！！而這里思維巧妙的原因，可能是因為對矩陣行列式的兩重理解。

①相對觀點理解：矩陣的行列式為A，就說明經過該矩陣的變換之后，空間中任意一塊區域的面積或體積放縮了A倍。
②絕對觀點理解：絕對觀點其實就是在相對觀點的基礎上，找到一個參照物。我們選擇的參照物就是兩個基向量（假設是二維平面）圍成的正方形區域，那么行列式A的值，同樣代表經過變換之后，變換后的基向量圍成的平行四邊形的面積。

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后記

本文為B站《線性代數的本質》公開課的隨課筆記。
原視頻鏈接見下方——

【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集P16

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【线性代数的本质|笔记】抽象几何空间、克莱姆法则及其几何解释的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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