參數說明：
$M:地球總質量$
$dm:地球上的質量微元$
$m^{\prime }:地球外部空間上的一個質點$
$p:m與dm之間的距離$
萬有引力大小為：
$f=\frac{Gdm?m^{\prime }}{p^2}$

引力位函數

$若外有引力做工(從無窮遠移動到半徑p處)為:A={\int }_{\infty }^p?\frac{Gdm?m}{p^2}=\frac{Gdm?m^{\prime }}{p}$
根據能量守恒，引力做工必然等于$m^{\prime }$減少的位能（勢能），若單位質量的點(從無窮遠移動到半徑p處)，勢能必然減少，將減少量定義為位函數:
$$dV=\frac{Gdm}{p}$$

地球外部空間的調和函數

地球產生的各質量微元函數之和為：
$$V={\int }_{M}dV=G{\int }_M\frac{dm}{p}（公式1）$$
又因為：
$$▽V=\frac{{?}^{2}V}{?x^2}+\frac{{?}^{2}V}{?y^2}+\frac{{?}^{2}V}{?z^2}=0(證略)$$
所以$V$是在地球質量M的外部空間上是調和函數

勒讓德多項式的生成函數

參數說明：
$m^{\prime }：的球坐標為(r,\theta ,\lambda )$
$dm：的球坐標為(r,{\theta }^{\prime },{\lambda }^{\prime })$
$向量R與r夾角為\phi$
$m{0}^{\prime }是m^{\prime }在球面上的投影$
在,$o,dm,m^{\prime }$構成的三角形中，根據余弦定理,可以得到：
$$p^2=r^2+R^2?2Rrcos\phi =r^2(1?2ax+a^2)(a=\frac{R}{r},x=cos\phi )$$
再開平方，取倒數得到：
$$\frac{1}{p}=\frac{1}{r}(1?2ax+a^2{)}^{?\frac{1}{2}}（公式2）$$
又因為：
$$(1?2ax+a^2{)}^{?\frac{1}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{P}_n(x)a^n(勒讓德多項式的生成函數)（公式3）$$
所以$(1?2ax+a^2{)}^{?\frac{1}{2}}$為勒讓德多項式的生成函數

球函數的加法公式

根據球面的三角余弦定理有:$cos\phi =cos\theta cos{\theta }^{\prime }+sin\theta sin{\theta }^{\prime }cos(\lambda ?{\lambda }^{\prime })$
帶入$$P_n(cos\phi )=\sum _{k=0}^n\frac{2(n?k)!}{(1+{\delta }_k)(n+k)!}{P}_n^k(cos\theta )P_n^k(cos{\theta }^{\prime })cosk{\lambda }^{\prime }+P_n^{k}cos\theta sin(k\lambda )P_n^k(cos{\theta }^{\prime })(sink{\lambda }^{\prime })(公式4)$$

利用德讓勒多項式求解V（調和函數）

將勒讓德多項式的生成函數（公式(3)），將帶入公式（2），再將公式2帶入地球外部空間的調和函數公式（1）。
得到:
$R_e:旋轉橢圓球的長半徑$
$u=GM:地球引力常數$
${\delta }_k=\{\begin{array}{ll}1& k=0\\ 0& k=1\end{array}$
$$V=\frac{G}{r}\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{R_e}{r}{)}^n{\int }_M(\frac{R}{R_e}{)}^n{P}_n(cos\phi )dm$$
將公式（4）帶入:
得到:
$$V=\frac{u}{r}\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{R_e}{r}{)}^n\sum _{k=0}^n(C_n^{k}cosk\lambda +S_n^{k}sink\lambda )P_n^k(cos\theta )$$
$$C_n^k=\frac{2(n?k)!}{M(1+{\delta }_k)(n+k)!}{\int }_M(\frac{R}{R_e}{)}^n{P}_n^k(cos{\theta }^{\prime })cosk{\lambda }^{\prime }dm$$
$$S_n^k=\frac{2(n?k)!}{M(1+{\delta }_k)(n+k)!}{\int }_M(\frac{R}{R_e}{)}^n{P}_n^k(cos{\theta }^{\prime })sink{\lambda }^{\prime }dm$$
已知直角坐標系到球體坐標系的轉換關系如下：
$$?\begin{array}{l}x=Rsin{\theta }^{\prime }cos{\lambda }^{\prime }\\ y=Rsin{\theta }^{\prime }sin{\lambda }^{\prime }\\ z=Rcos{\theta }^{\prime }\end{array}$$
剛體的張量定義如下:剛體的慣性張量及其物理意義
$$I=?\begin{array}{ccc}{I}_x& ?I_{xy}& ?I_{xz}\\ ?I_{xy}& I_y& ?I_{yz}\\ ?I_{xz}& ?I_{yz}& I_{xz}\end{array}?={\int }_M?\begin{array}{ccc}{y}^2+z^2& ?xy& ?xz\\ ?xy& x^2+z^2& ?yz\\ ?xz& ?yz& x^2+y^2\end{array}?dm$$
可以得到：
$C_0^0=1$
$C_0^1=\frac{1}{R_e}(\frac{1}{M}{\int }_{M}zdm)$
$C_1^1=\frac{1}{R_e}(\frac{1}{M}{\int }_{M}xdm)$
$S_1^1=\frac{1}{R_e}(\frac{1}{M}{\int }_{M}ydm)$
$C_2^0=\frac{1}{M{R}_e^2}({\int }_M{z}^2?\frac{x^2+y^2}{2}dm)=\frac{1}{M{R}_e^2}(\frac{I_x+I_y}{2}?I_z)$
$C_2^1=\frac{1}{M{R}_e^2}{\int }_{M}xzdm=\frac{I_{xz}}{M{R}_e^2}$
$C_2^2=\frac{1}{4M{R}_e^2}({\int }_M{x}^2?y^{2}dm)=\frac{I_y?I_x}{4M{R}_e^2}$
$S_2^1=\frac{1}{M{R}_e^2}({\int }_{M}yzdm)=\frac{I_{yz}}{M{R}_e^2}$
$S_2^2=\frac{1}{4M{R}_e^2}({\int }_{M}xydm)=\frac{I_{xy}}{2M{R}_e^2}$
如果定義直角坐標與地球慣性慣性主軸重合，則：$I_{xy}=I_{yz}=I_{xz}=0$

對于實際應用時，地球坐標一邊選擇坐標原點與地球質心重合，oz與地球自轉平行，ox軸在赤道面上且指向0度經線，這時坐標軸往往與慣性主軸不重合。
利用三角函數恒等式：
得到:
$$V=\frac{u}{r}\{1?\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{R_e}{r}{)}^n[J_n{P}_n(cos\theta )+\sum _{k=1}^n{J}_n^k{P}_n^k(cos\theta )cosk(\lambda +{\lambda }_n^k)]\}$$
$$J_n=?C_n^0,J_n^k=\sqrt{(C_n^k{)}^2+(S_n^k{)}^2},{\lambda }_n^k=?arctan(\frac{S_n^k}{C_n^k})/k$$
$J_2=C_2^0=\frac{1}{M{R}_e^2}(\frac{I_x+I_y}{2}?I_z)(動力扁率：反映赤道與極軸上轉動慣量的差別)$
$\frac{u}{r}:球形地球引起的引力位$
在實際應用中因為其他系數比$J_2$小三個數量級，所以只需考慮$\frac{u}{r}和J_2$的影響，可以將$V$近似看為：
$$V=\frac{u}{r}[1?\frac{J_2{R}_e^2}{2r^2}(3co{s}^2\theta ?1)]（只考慮主諧項）$$

衛星在慣性坐標系下的運動方程（只考慮主諧項）

已知
$位移矢量：r={\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^T$
$引力：f={\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& f_y& f_z\end{array}\right]}^T$
$cos\theta =\frac{z}{r}$
對x,y,z求2階片導，求得加速度方程為：
$$\ddot{r}=?\frac{u}{r^3}[I+\frac{3}{2}{J}_2(\frac{R_e}{r}{)}^2(D?5(u_r?u_p)I)]r$$
其中:$D=diag\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\end{array}\right)$
$u_r表示r上的單位矢量$
$u_p表示自轉軸上的的單位矢量$
$u_r?u_p表示u_p與u_r之間夾角的余弦值$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的捷联惯导系统学习3.3(引力位函数)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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