????????普通樹一個結點可以有多個孩子，但它本身只能存儲一個元素，而二叉樹結點最多只能有兩個，這對于元素非常多的時候，會使得樹的度或者是高度會非常大。這就使得內存存取外存的次數會增多，一旦涉及到外部存儲設備，時間復雜度的計算就會受到影響，所以為了降低對外存設備的訪問次數，就引入了一個叫多路查找樹(mutil-way search tree)的數據結構。

????????多路查找樹，其每一個結點的孩子數可以多于兩個，且每一個結點可以存儲多個元素。多路查找樹有查找的性質，所以，所有元素之間又存在著特定的排序關系。多路查找樹的4種特殊形式：2-3樹、2-3-4樹、B樹和B+樹

? ? ? ? 最開始說說最簡單的B樹，2-3樹

????????1.1 概念

????????2-3樹其中的每個非葉子結點都具有兩個孩子(2結點)或三個孩子(3結點)。高度為h的2-3樹結點數至少有2^h - 1個。

????????2結點包含一個元素S和兩個孩子(或沒有孩子)。元素S大于左子樹包含的元素，小于右子樹包含的元素。

????????3結點包含兩個元素S和L以及三個孩子(或沒有孩子)。元素S大于左子樹包含的元素且小于中間子樹包含的元素，元素L大于中間子樹包含的元素小于右子樹包含的元素。

????????且所有葉子結點都在同一層次。

????????1.2 操作2-3樹

????????1.2.1 查找元素

????????2-3樹的查找方式與二叉樹類似，根據元素與結點的大小比對決定后續路線。如上圖，我需要找個10，首先2結點10 > 8，往右子樹找；下一結點包含兩個元素，為3結點，10 < 12，往左子樹找；左子樹中比較查找得到10。

????????1.2.2 插入

????????2-3樹的插入操作與二叉樹相同，插入操作一定是發生在葉子節點上。

????????1)對于一個空樹來說，插入一個2結點即可

??????? 2)插入結點到一個2結點的葉子上，由于其本身就一個元素，所以只需要將其變成3結點即可。

????????如上圖，我希望插入一個元素3，根據遍歷，3 < 8，3 < 4，于是考慮插入到葉子結點1所在位置，3 > 1，于是3在1的右邊兒。

??????? 3)往3結點插入一個新元素，就需要將其拆分，且將樹中兩元素或插入元素的三者中選擇其一向上移動一層。

????????來看看第一種情況，插入的元素是5，被插入的結點是(6,7)，是一個3結點，當父節點是2節點，這時候考慮將567其中一人升一級，4 < 5 < 6， 5 < 6 < 7，將6提上一層，讓父節點變為3節點，5插入變成中間子樹，剩下一個7為右子樹

????????另一種情況，插入的元素是11，11 < 12，顯然，11應該插入到3節點(9,10)中，但(9,10)節點不能再插入元素了，于是考慮將11插入到(12,14)節點中，這時候8 < 11 < 12,所以，將12向上提一層，這時候，原來的擁有8元素的2結點變為了3結點，剩下的11,9,10需要考慮將他們變為中子樹

????????1.2.3 刪除

??????? 1)所刪除的元素位于3結點的葉子結點上直接刪除即可。因為3結點中肯定是包含兩個元素的，直接刪除也不會影響到2-3樹的結構變化。如圖，我想要把元素9刪除，那么我直接剔除元素9即可

??????? 2)刪除的元素位于2結點上，即刪除的是只有一個元素的結點，相當于對結點進行刪除操作。這個時候如果直接把結點刪除，便會不符合2-3樹的定義(無子結點或必須擁有N個子節點)。如，我想要刪除元素1，結點4本來是擁有子結點1與子結點6,7的，此時少了結點1，便不符合2-3樹的定義了。

????????于是，對于刪除的元素處于2結點的位置時候，需要分四種情況考慮：

????????第一種，結點雙親也是2結點，且擁有一個3結點的孩子，正如上圖，那么這時候只需要左旋，將6元素提上一層即可

????????第二種，結點的雙親是2結點，右孩子也是2結點。這個時候就不能像上一種情況那樣直接左旋，這樣會造成新的樹形沒有右孩子，因此需要對整棵樹進行變形，來讓擁有7元素的這個結點變為3結點。比如，我刪除了一個元素4的結點。這個時候需要讓8加入到元素7的結點中，然后讓右子樹最小的一位元素9到頂層最后左旋即可。

????????情形三，此節點的雙親是一個3結點。比如說我刪除一個元素10，這個時候只需要將3結點的小元素降下來，然后與中子樹的合為一個3結點即可。

????????情形四，當前的2-3樹為一個滿二叉樹，這個時候，刪除任何一個葉子都需要讓整棵樹變形。我從下圖中刪除一個8元素的結點，這個時候9肯定不能單獨作為一個2結點存在了，考慮到2-3樹的性質，6與7合為一個3結點，放左子樹，14提上一層，13當做一個中子樹，15作為一個右子樹

總結

以上是生活随笔為你收集整理的用table展示树形结构数据_复习一下数据结构（二）——2.2 树形索引（23树）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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