克萊姆法則講解

最近因準備保研在復習線性代數，克萊姆法則(Cramer’s rule)老是記混，故此在博客整理一下克萊姆法則。

1.考慮方程組

$$?\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+???+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+???+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ???????????\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+???+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$
與二、三元方程組類似，n元方程組的解也可用行列式表示。

2.方程組的矩陣表示

$$\begin{array}{cccc}A& X& & \beta \\ ?\begin{array}{rrcc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}?& ?\begin{array}{r}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}?& =& ?\begin{array}{r}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}?\end{array}$$

3.解過程

分別記錄$A,A_j如下:$
$$A=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$

$$A_j=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& ...& a_{1(j?1)}& b_1& a_{1(j+1)}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& ...& a_{2(j?1)}& b_2& a_{2(j+1)}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& ...& a_{n(j?1)}& b_n& a_{n(j+1)}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$

若系數行列式不等于0，即：
$$A=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|=0$$

則解為：
$$x_j=\frac{A_j}{A}=\frac{\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& ...& a_{1(j?1)}& b_1& a_{1(j+1)}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& ...& a_{2(j?1)}& b_2& a_{2(j+1)}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& ...& a_{n(j?1)}& b_n& a_{n(j+1)}& ...& a_{nn}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|}$$

克萊姆法則：

• 定理一：若系數行列$A=0$，則方程組有為一解$x_j=\frac{A_j}{A}$，即：
  KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …{array}\right|
  定理一的個人理解： 如果要證明定理一就必須分三步，即
  Step1：證明方程組有解；
  Step2：證明方程組的解唯一；
  Step3：證明方程組解的公式。
• 定理二：若齊次方程組的系數行列式 $A=0$ 則方程組有惟一零解。
  補充知識：齊次線性方程組為方程組中常數項為$0$，即在本題中為$\beta$中每一項$b_i=0$都成立，即：
  $$?\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+???+a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+???+a_{2n}{x}_n=0\\ ???????????\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+???+a_{nn}{x}_n=0\end{array}$$
  齊次線性方程組的矩陣表示為：
  $$\begin{array}{cccc}A& X& & \beta \\ ?\begin{array}{rrcc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}?& ?\begin{array}{r}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}?& =& ?\begin{array}{r}0\\ 0\\ ...\\ 0\end{array}?\end{array}$$
  定理二的個人理解： 因為當齊次方程組的系數行列式 $A=0$ 時方程組有惟一零解，而此時又因為齊次線性方程組中常數項為$0$，所以唯一的解只能為$0$解。
• 補充知識：若要證明齊次線性方程組有非零解，則系數行列式$A=0$。
  補充知識的個人理解： 若要保證齊次線性方程組有非零解，則系數行列式$A=0$，此時因為系數行列式$A=0$，則方程組解不唯一，就有除了唯一零解之外的非零解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Cramer_rule克莱姆法则讲解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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