總的感受:

這里大概囊括了一下圖論的基礎知識，圖論是一個比較考驗思維的部分。

尤其是后面有關二分圖,網絡流等的分支,對建模轉化的要求還是很高的。

進入正題了：

一、最短路：

這一個部分不想多講，雖然是很基礎的一個部分，但是也很重要。

題目：

1、Telephone Lines。p.s:二分答案+最短路。

2、Roads and Planes。p.s:Topo序+dijkstra。

3、Cow Relays。p.s:Floyd+矩陣乘法。

三連擊

二、最小生成樹：

基礎算法的話也不多講了。主要是其實有些這種類型的題也很考驗思維。。。

題目：

1、picnic planning。 p.s:最小生成樹+枚舉。

三、樹的直徑與LCA：

樹的直徑求法： ① 樹形DP。 ②兩遍BFS/DFS。

LCA的求法： ①樹上倍增。 ②Tarjan+并查集（離線）。

這一類型的題目，一般需要能夠發現隱藏在題目中的一些優秀的性質，然后和這些東西掛上聯系，然后就很舒服了(有前提的略略略)。

題目：

1、APIO2010巡邏 p.s:分類討論+樹的直徑。 題解傳送門

2、NOIP2007樹網的核 p.s:分析性質+樹的直徑。 題解傳送門

3、POJ3417Network p.s:問題轉化+樹上差分。 題解傳送門

4、SDOI2015尋寶游戲 p.s:dfs序+set（虛樹??!!）題解傳送門

5、嚴格次小生成樹 p.s:最小生成樹+樹上倍增。題解傳送門

6、NOIP2012疫情控制 p.s:二分答案+貪心+樹上倍增。題解傳送門

四、基環樹

一般用來作為樹問題的擴展。。解決基環樹問題常用思路：一般先考慮樹，然后掛上一條邊后產生的影響（和沒說一樣）。。。

1、IOI2008Island p.s:基環樹直徑。題解傳送門

五、負環與差分約束系統

負環的判定spfa不多聊。

講下差分約束系統：

這是一種特殊的N元不等式組，它的N個變量a1...aN，滿足一些形如下的約束：

ai-aj<=bkai==ajai-aj>=bk...

然后需要解決的問題就是求一組解使得上述約束全部滿足。

可以發現上述的式子和最短路需要滿足的三角形不等式：dis[y]<=dis[x]+ver(x,y)十分相似。

那么我們可以考慮到把這些約束看作是兩兩變量之間的邊，相對應的跑最短（長）路即可。

具體一點，

對于形如:ai-aj<=ck的式子，我們可以轉換成ai<=aj+ck。

那么就相當于向j往i連了一條長為ck的邊，那么對應的跑最短路即可。特殊的：如果存在負環無解

而對于形如:ai-aj>=ck的式子，就轉換成ai>=aj+ck,可以發現只需將最短路改成最長路即可。

題目：

咕咕咕。。。

六、Tarjan與圖的連通性

無向圖橋（割邊）判定:

low[y]>dfn[x];

無向圖割點判定：

low[y]>=dfn[x]; //需要注意的是需要判斷根節點的特殊情況...

無向圖邊雙連通分量（e-DCC）求法：

把所有的橋去掉后得到的所有的連通塊都是一個e-DCC。

無向圖點雙連通分量（v-DCC）求法：

把所有的割點去掉后得到的所有的連通塊都是一個v-DCC？？？。

并不是。。。一定不能亂來啊233

事實上可以發現一個割點可能出現在多個v-DCC中。

這個時候就按照割點判斷法則來，把用一個棧維護起來的點一個個彈出，他們組成一個v-DCC。同時，需要把割點的標記清空，因為后續它還有可能出現在別的v-DCC中。

e-DCC的縮點比較常規，需要注意的是v-DCC的縮點，新的圖應該包括了每一個v-DCC和每一個割點。

有向圖強連通分量（SCC）的求法：對于每一個點，若存在：

low[x]==dfn[x];

那么把棧中維護的元素彈到x為止。

SCC的縮點也比較常規。

有向圖的必經點和必經邊。

注意：此處不考慮有環的情況。對于有環的情況請自行了解支配樹。

既然沒有環，可以直接正反兩次進行Topo排序。

記錄到x路徑條數,不妨設從S到x路徑條數為f[x]，從x到T路徑條數為t[x]。

① 如果對于一條有向邊（x,y）。如果滿足：

f[x]*t[y]==f[T];

則此邊為必經邊。

② 如果對一個點x。如果滿足：

f[x]*t[x]==f[T];

則此點為必經點。

題目：

1、POI2008BLO p.s:割點。題解傳送門

2、Knights of the Round Table p.s:點雙連通分量+奇環。題解傳送門

七、2-SAT問題

對于N個變量，每個變量只有兩種取值。然后有M個條件，每個條件是關于兩個變量取值的限制。

問能否找到一組合法的賦值方案使得M個條件都滿足。

判定是否合法的方法：

首先，對這N個點建一張2N個點的圖，i和i+N對應的點i的兩個取值。

然后，根據每一個條件連有向邊，（一般需要轉一下思維）。

最后，tarjan縮強連通分量，如果任意一個SCC內存在i，i+N，那么就不合法。否則合法。

求一組合法賦值方案的方法：

這是個人理解：由于選擇一個零出度點，不會對其他點造成影響。

所以：

1、我們可以建反圖Topo序，相當于在原圖自底向上進行Topo。

每遇到一個沒有確定賦值的點，就給它和它對應的點賦值。

2、由于我們發現tarjan縮點得到的每一個SCC的順序正好是自底向上的，所以我們可以直接賦值。

val[i]=c[i]>c[opp[i]];//c是強連通分量編號...//i代表xi,0,opp[i]代表xi,1...

八、二分圖和網絡流

定義：一張沒有奇環的無向圖是二分圖。

二分圖判定方法：dfs染色。若存在相鄰兩個點，他們的顏色相同，那么就存在奇環。

最大匹配求法：① 匈牙利算法 ② 網絡流。

完備匹配：一張圖具有完備匹配，當且僅當兩邊的點都為N個，且最大匹配為N。

多重匹配：在最大匹配的基礎上，點可以連不超過一特定限制數量的另一側的點。

最大帶權匹配：邊有邊權，在最大匹配的前提下，使權值和最大。

最大帶權匹配求法：① KM算法 ② 費用流。

需要注意的是：KM算法僅僅適用于二分圖具有完備匹配，所以一般都是費用流。

二分圖最小點覆蓋：等于最大匹配數。

簡略證明一下：

首先，由于每條匹配邊都肯定需要至少取一個端點，所以不可能小于最大匹配數。因此只需要給出一組構造，使得點數等于最大匹配數即可。構造如下：首先，先求出二分圖最大匹配。然后，對于每一個左部非匹配點在進行一次尋找增廣路的過程，（必然失敗），同時進行訪問標記。最后，選出左部未訪問的節點和右部訪問了的節點，這些點構成一組點數為最大匹配數的最小點覆蓋。原因：左部的非匹配點顯然都被標記了，右部的非匹配點肯定沒被標記，一對匹配點要么同時被標記要么同時沒被標記。那么：1、匹配邊都被覆蓋了，因為恰好每條匹配邊只取了一個點。2、兩個端點都是非匹配點的情況不存在，與最大匹配矛盾。3、左部是非匹配點，右側是匹配點的非匹配邊被覆蓋了。4、右部是非匹配點，左側是匹配點的非匹配邊，左部點一定沒被訪問，所以也被覆蓋了。

證畢。

二分圖最大獨立集：等于總點數-最小覆蓋，即也等于總點數-最大匹配。

證略。

網絡流初步：

最大流：EK算法，dinic算法（當前弧優化）。

最小割：最小割等于最大流。

費用流：spfa-EK費用流。

題目：

1、Ants p.s:二分圖帶權最小匹配。題解傳送門

2、網絡流24題 No p.s...題解傳送門

最后的最后

蒟蒻的圖論部分就到此結束了，有些地方講的有點含糊不清，請多包容。

上述題解會很快跟上的。。。（希望別咕掉了@ο@）

The Real End

轉載于:https://www.cnblogs.com/Bhllx/p/10610275.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论部分简单总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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