題目大意

設d(x)為x的約數個數，\(t\)組詢問，給定\(n,m\)(\(t,m,n\leq5*10^4\))，求$ \sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}d(i*j)$

題解

假設\(n\leq m\)
設\(i=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k},j=p_1^{b_1}*p_2^{b_2}*...*p_k^{b_k}\)
對于\(i*j\)的某個約數\(x\)，設\(x=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_k^{c_k}\)，那么可以用兩個數\(e,f\)表示\(x\)，當\(c_q\leq a_q\)時\(e\)的\(p_q\)的指數為\(c_q\)，當\(c_q> a_q\)時\(f\)的\(p_q\)的指數為\(c_q-a_q\)
這樣每個\(x\)都能對應到一對\((e,f)\)上，每對滿足\(e|i,f|j,gcd(e,f)=1\)的\((e,f)\)也能對應到一個\(x\)上
所以就有\(d(i,j)=\sum_{e|i}\sum_{f|j}[gcd(e,f)=1]\)
原式=$ \sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\sum_{e|i}\sum_{f|j}[gcd(e,f)=1]$
把枚舉\(e,f\)放到前面，得原式=\(\sum_{e=1}^{n}\sum_{f=1}^{m}\lfloor\frac{n}{e}\rfloor\lfloor\frac{m}{f}\rfloor[gcd(e,f)=1]\)
=\(\sum_{e=1}^{n}\sum_{f=1}^{m}\lfloor\frac{n}{e}\rfloor\lfloor\frac{m}{f}\rfloor\sum_{i|e,i|f}\mu(i)\)
=\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\sum_{i|e}^{n}{\lfloor\frac{n}{e}\rfloor}\sum_{i|f}^{m}{\lfloor\frac{m}{f}\rfloor}\)
=\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\sum_{e=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}{\lfloor\frac{n}{e*i}\rfloor}\sum_{f=1}^{\lfloor\frac{m}{i}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{f*i}\rfloor}\)
設\(g(x)=\sum_{i=1}^{x}{\lfloor\frac{x}{i}\rfloor}\)，預處理\(g(x)\)
則原式=\(\sum_{i=1}^{n}{\mu(i)*g(n/i)*g(m/i)}\)
接下來整除分塊就行了

代碼

#include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> #include<iomanip> #include<iostream> #include<map> #include<queue> #include<set> #include<stack> #include<vector> #define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i) #define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i) #define maxn 50010 #define lim 50000 #define LL long long using namespace std; int read() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();return x*f; } void write(LL x) {if(x==0){putchar('0'),putchar('\n');return;}int f=0;char ch[20];if(x<0)putchar('-'),x=-x;while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;while(f)putchar(ch[f--]);putchar('\n');return; } int n,m,t,p[maxn],no[maxn],cnt; LL f[maxn],g[maxn],mu[maxn]; int main() {//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);mu[1]=p[1]=no[1]=1;rep(i,2,lim){if(!no[i])p[++cnt]=i,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=lim;j++){no[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}else mu[i*p[j]]=-mu[i];}}rep(i,1,lim)mu[i]+=mu[i-1];rep(i,1,lim){for(int l=1,r=0;l<=i;l=r+1){r=i/(i/l);f[i]+=(LL)(i/l)*(LL)(r-l+1);}}t=read();while(t--){n=read(),m=read();LL ans=0;if(n>m)swap(n,m);for(int l=1,r=0;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=(mu[r]-mu[l-1])*f[n/l]*f[m/l];}write(ans);}return 0; }

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總結

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