B樣條方法在表示與設計自由型曲線曲面形狀時顯示了強大的威力，然而
在表示與設計初等曲線曲面時時卻遇到了麻煩。因為B樣條曲線包括其特例的
Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，B樣條曲面包括其特例的
Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。
提出NURBS方法，即非均勻有理B樣條方法主要是為了找到與描述自由型曲線
曲面的B樣條方法既相統一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數學方法。
NURBS方法的主要優點：?????
?	?
?	（1）既為標準解析形狀(即前面提到的初等曲線曲面)，又為自由型曲線
曲面的精確表示與設計提供了一個公共的數學形式。?
?	?
?	（2）修改控制頂點和權因子，為各種形狀設計提供了充分的靈活性。
?	?
?	（3）具有明顯的幾何解釋和強有力的幾何配套技術(包括節點插入、細
分、升階等)。?
?	?
?	（4）對幾何變換和投影變換具有不變性。
?	?
?	（5）非有理B樣條、有理與非有理Bezier方法是其特例。
?	?
?	不過，目前應用NURBS中還有一些難以解決的問題：
?	?
?	（1）比傳統的曲線曲面定義方法需要更多的存儲空間，如空間圓需7個參
數(圓心、半徑、法矢)，而NURBS定義空間圓需38個參數。?
?	?
?	（2）權因子選擇不當會引起畸變。
?	?
?	（3）對搭接、重疊形狀的處理很麻煩。
?	?
?	（4）反求曲線曲面上點的參數值的算法，存在數值不穩定問題。
?
?3.4.1 NURBS曲線的定義??
?
?	NURBS曲線是由分段有理B樣條多項式基函數定義的：
?
?	?
?	其中，Ri,k(t)（i=0,1,…,n）稱為k階有理基函數，Ni,k(t)是k 階B樣條
基函數，Pi（i=0,1,…,n）是特征多邊形控制頂點位置矢量；w i是與Pi對應
?的權因子，首末權因子w 0，w n>0，其余w i3 0，以防止分母為零及保留凸包
性質、曲線不因權因子而退化為一點；節點矢量為T＝[t0, t1, … , ti, …,
點tn+k]，節個數是m=n+k+1（n為控制項的點數，k為B樣條基函數的階數）。???
?	?
?	對于非周期NURBS曲線，常取兩端節點的重復度為k，即
?	?
?	有：，在大多數實際應用中，a =0,
b =1。P(t)在區間上是一個k-1次有理多項式，P(t)在整條曲線上
具有k-2階連續性，對于三次B樣條基函數，具有C2連續性。當n=k-1時，k階
NURBS曲線變成k-1次有理Bezier曲線，k階NURBS曲線的節點矢量中兩端節點的
成節點重復度取k+1就使得曲線具有同次有理Bezier曲線的端點幾何性質。????
?	?
?	Ri,k(t)具有k階B樣條基函數類似的性質：
?	?
?	（1）局部支承性：Ri,k(t)=0，t? [ti, ti+k]；
?	?
?	（2）權性：；
?	?
?	（3）可微性：如果分母不為零，在節點區間內是無限次連續可微的，在
節點處 (k-1-r)次連續可導，r是該節點的重復度。?
?	?
?	（4）若w i=0，則Ri,k(t)=0；
?	?
?	（5）若w i=+￥ ，則Ri,k(t)=1；
?	?
?	（6）若w j=+￥ ，且j1 i，則Ri,k(t)=0；
?	?
?	（7）若w j=1，j=0,1,…,n, 則是B樣條基函數；若w
jj=1，=0,1,…,n，且 則，Bi,k(t)是
Bernstein基函數。 ?
?	?
?	Ri,k(t)與Ni,k(t)具有類似的性質，導致NURBS曲線與B樣條曲線也具有類
?似的幾何性質：
?
?	（1）局部性質。k階NURBS曲線上參數為的一點
至多與k個控制頂點Pi及權因子有關，與其它頂
點和權因子無關；另一方面，若移動k次NURBS曲線的一個控制頂點Pi或改變所
聯系的權因子僅僅影響定義在區間上那部分曲線的形狀
?	?
?	（2）變差減小性質。
?	?
?	（3）凸包性。定義在非零節點區間上曲線段
?位于定義它的k+1個控制頂點的凸包內。整條NURBS曲線位于所
?有定義各曲線段的控制頂點的凸包的并集內。所有權因子的非負性，保證了
凸包性質的成立。?
?	?
?	（4）在仿射與透射變換下的不變性。
?	?
?	（5）在曲線定義域內有與有理基函數同樣的可微性。
?	?
?	（6）如果某個權因子為零，那么相應控制頂點對曲線沒有影響。
?	?
?	（7）若，則當時，。
?	?
?	（8）非有理與有理Bezier曲線和非有理B樣條曲線是NURBS曲線的特殊情
況?。
?	?
?3.4.2 齊次坐標表示??
?
?	為了便于討論，我們考慮平面NURBS曲線的情況。圖3.1.34所示，如果給
一組控制頂點及對應的權因子
則在齊次坐標系xyw中的控制頂點為。
齊次坐標下的k階非有理B樣條曲線可表示為：???
?
?	?
?	若以坐標原點為投影中心，則得到平面曲線：
?
?
?	?
?	三維空間的NURBS曲線可以類似地定義。即對于給定的一組控制頂點
?及對應的權因子，則有相應
帶權控制點，定義了一條四維的
k階非有理B樣條曲線，然后，取它在第四坐標的超平面上的中心
投影，即得三維空間里定義的一條k階NURBS曲線。這不僅包含了明確的
幾何意義，也說明，非有理B樣條的算法可以推廣到NURBS曲線，只不過是在??
齊次坐標下進行。??
?
?3.4.3 權因子的幾何意義??
?
?	由于NURBS曲線權因子w i只影響參數區間定義在區間
上的那部分曲線的形狀，因此，我們只考察整條曲線的這一部分。如果固定曲線的參數t，而使變化，則NURBS曲線方程變成以為參數的直線方程，即
NURBS曲線上t值相同的點都位于同一直線上，如圖3.1.35所示。我們把曲線與
有理基函數的記號用用如下包含其權因子為變量的記號替代。因當時
，的，故該直線通過控制頂點，
分別是對應曲線上的點，即，
，。?????
令 a =Ri,k(t; w i=1 )，b = Ri,k(u)
?	?
?	N，Bi可表示為：
?
?	?
?	用a 、b 可得到下述比例關系：
?
?	?
?	上式是(Pi，Bi，N，B)四點的交比，由此式可知：
?	?
?	（1）若w i增大活減小，則b 也增大或減小，所以曲線被拉向或推離開
?Pi點； ?
?	?
?	（2）若w j增大或減小，曲線被推離或拉向Pj（j1 i）。
?
?
?3.4.4 圓錐曲線的NURBS表示??
?
?	若取節點向量為，則NURBS曲線退化為二次Bezier曲線，
且	?
?	?
?	可以證明，這是圓錐曲線弧方程，稱為形狀因子，的值
確定了圓錐曲線的類型。時，上式是拋物線弧，時，
上式是雙曲線弧，時，上式是橢圓弧。且時，上式
退化為一對直線段和，時，上式退化為連接
兩點的直線段，如圖3.1.36所示。????
?
?
?3.4.5 NURBS曲線的修改??
?
?	NURBS曲線的修改有多種方式，常用的方法有修改權因子、控制點和反插
節點。?
?
?	1．修改權因子
?	?
?	權因子的作用是：當保持控制頂點和其它權因子不變，減少或增加某權因
?子時，曲線被推離或拉向相應頂點。假定已給k階（k-1）次NURBS曲線上參數
為t的一點S，欲將曲線在該點拉向或推離控制頂點一個距離d，以得到新點
，可由重新確定相應的權因子使之改變為來達到，如圖3.1.37所示。?
?
?
?	其中，表示和兩點間的距離，d有正負之分，若在和之
間，即曲線被拉向頂點和，d為正，反之為負。
?	?
?	修改過程是拾取曲線上一點，并確定該點的參數，再拾取
控制多邊形的一個頂點，它是k+1個控制頂點中的一個，即
，便可算出兩點間的距離d。若在直線段上拾取一個點
?，就能確定替代老權因子的新權因子，修改后的曲線將通過點。??
?
?	2．修改控制頂點
?	?
?	若給定曲線上參數為的一點S，方向矢量V和距離d，計算控制頂點的
?新位置，以使曲線上S點沿V移動距離d到新位置。可表示為：?
?
于是：
由此可得新控制頂點：
?
?	3．反插節點
?	?
?	給定控制多邊形頂點與權因子及節點矢量
，就定義了一條k階NURBS曲線。現欲在該多邊形的?
的邊上選取一點，使得點成為一個新的控制頂點，這就是所謂反插節點。
點可按有理線性插值給出： ???
?
?于是：
? 所以 ?
?	這就是使得成為一個新控制頂點而要插入的新節點。
?	?
?	當插入新節點使成為新控制頂點的同時，將有k-2個老控
制頂點被包括在內的新控制頂點所替代，如圖3.1.38所示。?
?
?
?3.4.6 非均勻有理B樣條（NURBS）曲面??
?
?	1.NURBS曲面的定義
?	?
?	由雙參數變量分段有理多項式定義的NURBS曲面是：
?
?	?
?	式中是矩形域上特征網格控制點列，是相應控制點的權因子，規定
四角點處用正權因子，即，其余。
和是p階和q階的B樣條基函數，是雙變量有理基函數：??
?
?	?
?	節點矢量和按de Boor遞推
公式決定，通常具有下面的形式：?
? p個 q個 p個 q個
?	?
?	2.NURBS曲面的性質
?	?
?	有理雙變量基函數與非有理B樣條基函數相類似的性質：
?	?
?	（1）局部支承性質：，當或
?；?
?	?
?	（2）權性：；
?	?
?	（3）可微性：在每個子矩形域內所有偏導數存在，在重復度為r的u節點
處沿u向是p-r-1次連續可微，在重復度為r的v節點處沿v向是q-r-1次連續可
微；
?	?
?	（4）極值：若p，q>1，恒有一個極大值存在；
?	?
?	（5）是雙變量B樣條基函數的推廣。
?	?
?	NURBS曲面與非有理B樣條曲面也有相類似的幾何性質，權因子的幾何意義
及修改、控制頂點的修改等也與NURBS曲線類似，這里不在贅述。
?
?	我們已經知道，計算機中表示形體，通常用線框、表面和實體三種模
型。線框模型和表面模型保存的三維形體信息都不完整，只有實體模型才能
夠完整地、無歧義地表示三維形體。前面我們已經介紹了曲線曲面常用的的
表示形式及其理論基礎，從本小節開始，我們介紹實體造型技術的有關問題，
?主要包括形體在計算機內的表示、分類求交算法和典型的實體造型系統。??
?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的NURBS曲线与曲面的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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