矩陣乘法學習摘記

? ——JZYshuraK 18.4.8

http://www.matrix67.com/blog/archives/276

例題1

? 為什么一定要將本來只有兩維的點設為一個\(1\cdot 3?\)矩陣，原因在于，我們在處理所有操作時，必須使得每一個操作矩陣都是正方形(顯然)，然后加法矩陣需要有一維使得和坐標的另一維乘積為0，而且必須點當中有一維為1，才能實現加法操作。然后，所有矩陣必須都是等大的，進而，所有本可以2*2的矩陣被強行擴大到3*3。

例題2

? 雖然矩陣不是數，但是它可以相乘。快速冪的本質其實是指數的二進制拆分，對于相乘元素只要可以相乘即可。快速冪中所有元素都是相等的，不存在什么交換律結合律什么的。

例題3

? 其實并不是什么二分，知道了元素個數可以O(1)知道中間元素，如果是就是就把它單獨拎出來算掉，然后遞歸即可。
考試的時候碰見了一道題，范圍是\(10^18\).
有兩種做法
我的做法是對于任意的n，將需要單獨拎出來的下標存在一個數組里，然后預處理出來。直接處理顯然會T。我們發現，每一個數a[i+1]和a[i]的關系很簡單，無非就是2,2+1,*2-1。除了-1我們都可以直接×2，然后再扯。對于-1的情況，我在開始dp的時候就弄一個Shadow矩陣，是\(T^{a[i]-1}\)。這樣的話，我無論下一個數是不是-1的情況，我都讓這個Shadow矩陣一直跟著我們dp的指針。這樣的話，我們就處理掉了-1的情況，時間復雜度變成了log
題解的做法是在快速冪的時候直接得到答案。做法是這樣的：首先，為什么快速冪能恰好將n算完整？因為我們相當于將n二進制拆分，之后對于是1的情況單獨處理。而這里，我們在快速冪的時候順便將sum矩陣跟著求出來即可。-----------------2018.7.7

例題4

? 其實這道題可以用Matrix67的方法，最本質的原因是這是置換。這意味著什么？意味著我的操作矩陣和原序列是毫無關系的qwq，所以可以矩陣乘法加快速冪，即可。

例題5

? 細菌和上一題類似，操作矩陣和原來培養皿里面呆著多少小東西并沒有多大關系。所以我把原序列扔進數組，然后撇到一邊。可以在線處理(離線MLE)矩陣，然后快速冪即可。最后將操作答案矩陣和原序列相乘，即可。

例題6

? 求Fibonacci第n項，n是\(2^{31}-1\) (這反倒是我矩乘第一題)。這種問題可以得以解決關鍵在于這個遞推法則是固定的，而且和當前元素下標無關(如果和下標有關，那么操作矩陣中必須存在變量，這樣就不符合快速冪的本質(交換律))。

例題7

? 顯然，通過這道題，我們可以大致的猜想到：任意的\(a_n=\sum\limits_{i=n-sum+1}^{n-1} H_i\cdot a_i\) ,(H是固定系數，sum是固定遞推項數)，都可以通過矩陣快速冪解決。

例題8

? JLOI2018 D2 T1裸題

? 就是說構造鄰接矩陣時候，我們矩陣中i行j列的元素，在第k個答案矩陣上，表示從i到j花費k步的方案數。然后。然后，將當前答案矩陣乘上原來的鄰接矩陣，如果能對當前點有更新，當且僅當兩點之間連邊。

? 即：\(a_{i,j,k}=\sum\limits_{mid=1}^{n}a_{i,mid,k-1}\cdot c_{mid,j}\) 其中，\(a_{i,j,k}\) 表示從i到j用k步的方案數，mid可以看做枚舉到達j的上一個點，\(c_{i,j}\) 表示兩點是否連通。這恰好枚舉了所有情況，其中\(c_{i,i}\) 為0。

? 之后，求鄰接矩陣的k次快速冪，詢問的話，輸出答案即可。

例題9

? 額外鏈接http://blog.sina.com.cn/s/blog_77dc9e08010176nf.html

? 和例題8類似，只不過這題的鄰接矩陣的建立需要花一份兒功夫，建立了所謂的鄰接矩陣之后，快速冪即可。

例題10

? 特別地，我們對于兩個病毒片段的轉移構造鄰接矩陣(詳情說的很清楚)。然后同理，矩乘快速冪即可。

轉載于:https://www.cnblogs.com/ShuraK/p/8747419.html

總結

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